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sare cosi determinate hanno uno stesso integrale tra e e d : dunque in 



particolare sono atte ivi all' integrazione i(y) e j(y) e j{y) — i{y) è di inte- 

 ri d 



graie nullo. — Viceversa, se è Ji(y)dy = lj(y)dy, dovrà essere pure 



/ 



d d d 



Ji(y)dy —Jdy(jf{xy)dx\ =Jj(y)dy . 



Analogamente, se a e è sono le ascisse estreme dei punti del contorno C, 

 j(x), i{x) V integrale superiore e inferiore rispettivamente sulla retta X = x,. 

 V essere j(x) — i(co) d' integrale nullo tra a, b, e i{x) atta ivi all'integrazione,, 

 sono le condizioni necessarie e sufficienti all' esistenza dell' integrale 



b 

 Jdxjf{xy)dy . 



X(x) 



Nel rettangolo contenuto dagli assi e dalle rette x=l, y— 1 sia la 

 J(xy) definita con questa legge : per ogni valore x razionale sia f(xy) •= 1 : 

 per ogni x irrazionale sia j\xy) = 2y ; allora é 



1 



jdxjf{xy)dy = 







1 1 



mentre I dy lf(xy)dx non ha significato. '*' 







8. — Delle due condizioni ora dette, una, quella cioè che j(y) — ì(y) 

 sia tra e e d d'integrale nullo, si verifica direttamente sulla funzione data; 

 essa é ad es. sicuramente soddisfatta se la J\xy) è, rispetto a x, integrabile 

 per ogni valore y fisso, o anche solo se ciò avviene per tutti i valori y 

 tra e e d, eccettuati quelli eli un gruppo rinchiudibile. Quanto all'altra con- 

 dizione, cioè, all' integrabilità di i(y) possiamo asserire che essa é certa- 

 mente verificata se per ognuna delle rette Y — y, eccetto al più quelle di un 

 gruppo rinchiudibile, in ogni punto (xy) del tratto di essa che cade nel campo, 

 f(xy) è continua rispetto a y e il contorno esterno del campo medesimo, come 

 anche quello di ogni lacuna interna, si può riguardarle formato di due curve 

 rappresentabili ognuna da una equazione x — #(y)_, con 6(y) funzione con- 

 tinua di y tra e e d. '**> 



I") S. Thomae. — Ueber bestimmte integrale. — Zeitschrift fùr Mathematik und Physik. 

 (XXIII jahrgang). 



(**) Vedi mia nota: Sugli integrali di funzioni che contengono un' altra variabile ecc. — Ren- 

 diconti dell'Accademia delle Scienze di Bologna — 1888. 



