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Ma questa condizione è largamente sufficiente : non è- quindi vano darne 

 qui una assai meno restrittiva. 



Si riprenda la considerazione della retta Y=y e della 2d s D s relativa 

 ad essa, le d a essendo i tratti Aa? sulla medesima e D s le oscillazioni cor- 

 rispondenti della J\xy). Si ha 



J(y) — Kv) = lim 2d,D, 



8 = 



Vi è qui luogo a introdurre la distinzione che la somma 2d s D s , al de- 

 crescere delle d, converga al suo limite in eguale grado per tutti i valori 

 y tra e e d, ovvero non vi converga: volendosi con ciò intendere, come 

 si sa, che per ogni numero positivo a piccolo ad arbitrio, possa esistere 

 o no, un numero e tale che, quando tutte le d sono inferiori ad e, sia 



\M-Ky)-Zd s p,\<o 



per tutti gli y tra e e d. 



Ciò premesso, sia j(y) — i(y) d' integrale nullo : ciò equivale a dire che 

 è rinchiudibile il gruppo dei valori y pei quali, al decrescere comunque delle 

 d, rimane sempre 



2d s D, > a 



a essendo un numero positivo arbitrario. 



Se, in questo caso, la 2d s D s converge in egual grado, secondo la defi- 

 nizione data sopra, diremo che la f(ocy) è nelV intervallo e ... d , in generale, 

 uniformemente integrabile rispetto a x. 



L' intervallo a ... b sia diviso nelle parti d 1 , d 2 , ... , d n : nel tratto della retta 

 Y=y t o nell'insieme dei tratti di essa che cadono dentro il campo, sa- 

 ranno contenute le à Pt ,d pt ^_ l ...,d„ t essendo /?t>l e n t ~^n e potendo la 

 serie degli indici p t ,p t -h 1 , ... n t non resultare di numeri consecutivi: po- 

 tranno inoltre, nel tratto detto, cadere anche in parte le à Pl _ 1 e ?„ + -,. — 

 Si potrà scrivere 



Kyt) = à Pt l(dp t ,yt) -+- d Pt ^.d(ò Pt ^y t ) H 1- d nt l(d'„ t ,y t ) -+- 



-H a(y t ) -+- Ofip^Jidpt^yt) -+- 2 d nt+ il(K^.^t) 



con O<0 1 <1,O<0 2 <1 e a(y t ) indicando una quantità che tende sempre 

 a zero colle d ; ovvero anche sarà 



Kyt) = d Pt f{oc pt ,y t ) -+- d^^fiocp^^ijt) h 1- d nt f(x nt ,y t ) -+- a{y t ) 



-+- KtZdsDs -+- Ofipt^ftatpt^yt) -+- d 2 d nt + Y f(oc nt +i,yt) ; 

 P ,—\ 



