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dove (x p ,y t ) è punto nel tratto d pt , {x Pt ^. x ,y t ) un punto nel tratto d Pl+ì , ecc. ecc., 

 K% un numero compreso tra — 1 e -+■ 1 ed è sempre 



o(y t )<2d,D s . 



L' intervallo e ... d sia diviso nelle parti rf n d 2 , ... d m : y l ,y 2ì ... y m sieno le 

 ordinate dei punti di divisione. — Si consideri una di queste parti d t : tenuti 

 fissi i valori x Pt , x pt -\-\ ... le oscillazioni delle J\x p ,y), J\oc Pt ^. lt y) ... come 

 funzioni di y nell'intervallo d t sieno rispettivamente G Pt , G Pt + l ,...; a {t) (y) 

 l'oscillazione della o{y) ; {K t 1d s D s ) {t) quella della K t 2,d s D s . — Se il con- 

 torno esterno C si spezza in due parti segnando in esso i punti di massima 

 e minima ordinata, C, cioè, la parte a sinistra, C 2 quella a destra e si indica 

 con x t V ascissa minima nel tratto di C l che ha per proiezione d t sull'asse y, 

 x\ la massima: similmente con X t e X' t l'ascissa massima e minima re- 

 lativa al tratto corrispondente di C 2 : se é A, V oscillazione di i(y) neh' in- 

 tervallo d t , si avrà evidentemente 



A, < d pi G Pl -^d Pl ^G Pt ^^ h- d nt G nt +<j {t \y) -+- (i£2^A) w -+- 



-f- (x' t — x t )D Kt -h (X t — X' t )D 2>t 



D l<t e D 2 t essendo le oscillazioni della f{xy) nei rettangoli d t (x' t — x t ) e 

 d t (X t — X\) : dimodoché 



(0. 



ili ut ni nt ut 



2d t A t < 2d t (x' t — x t )D u -h 2d t (X t — X',)D, t -+- 2d t a^(y) -+- 2d t (K t 2d s D s ) 

 ii i ii 



m 



-+- 2d t j Ò PI G P , -+- ^, + iG J1(+1 H 1- ò\ t G„ t \ . 



i 



Ora é facile vedere che prendendo le d abbastanza piccole si può rendere 

 il secondo membro minore di quel numero che si vuole. 



Invero, le d sieno prese tutte cosi piccole, che la somma 2d s D s , sopra 

 ogni retta Y=y, resulti prossima al suo limite per meno di a 13 a x essendo 

 un numero scelto piccolo a piacere e si tenga, per un momento, fisso un 

 siffatto sistema di parti d. Sarà dunque 



2d s D s < a ■+- <j x 



per ogni valore di y, eccettuati quelli di un gruppo rinchiudibile e per 

 quanto sopra si osservò, sarà pure similmente 



a(y) < a -h a^ 



