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Per le differenze x\ — x t , e X t — X' t poi, é da notare che la x = rp(t) 

 «ssendo a variazione limitata ve ne potrà essere solo un numero determi- 

 nato che sieno sempre superiori a un numero arbitrario a comunque si 

 scelgano i tratti d. — Quanto alla somma 



m 



i 

 si potrà scriverla 



dJ2d s G,A -h dJld&A h h d n (Zd s G s>n 



i numeri r lt r 2 ....r n essendo >1 e i numeri m 1 ,m 2 ...m„<m, Se si con- 

 sidera ad es. il secondo termine di questa somma, le d s sono le parti d 

 contenute sul tratto di retta X=x s che cade nel campo e le G s2 le ri- 

 spettive oscillazioni della f(x$) , x 2 essendo un punto fisso di d 2 . 



Se ora in ognuna delle parti d si ammette che vi sia almeno un va- 

 lore x pel quale la f(xy) sia atta all' integrazione rispetto a y, le somme 



2>d s G,i, 2>d s Gs2---, cne sono in numero di n, si potranno, prendendo le 



d abbastanza piccole, rendere minore di quel numero che si vuole: ma,. 



se si nota che la somma 2,d t (K t 1id s D s y t} potendosi scomporre in due parti, 



l'una quella relativa alle parti d, dentro cui non cade alcun punto y pel 

 quale sia 



2dJ), > a -4- a, , 



F altra, quella relativa alle d, dentro cui cadono i punti pei quali é 



2d s D s > «r-M,. . 

 può farsi minore di 



2(ct -+- o-j) (d — e) -i- yM 



y essendo la somma delle d ultimamente dette e Muri numero finito ; 

 a,a x ,y essendo numeri arbitrari; e si aggiunge che una proprietà analoga 

 vale per ciascuna delle altre somme 



2d t a^(y), 2d+x t — x' t )D 1>t , 2d t (x' — x) D 2t 



si conclude che la 2d t \ , all' impiccolire delle d t si può rendere di quella 

 piccolezza che si vuole, di dove discende la integrabilità di i(y). 



