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d 



Esiste dunque /dy /f(xy)dx se la f(xy) rispetto a x è, in generale, uni- 



formemente integrabile per y nell' intervallo e . . . d e se è integrabile rispetto 

 a y, almeno per un valore x in ogni porzione comunque piecola di a . . . b . 



Queste condizioni non sono necessarie, e si vede subito che esse, suffi- 

 cienti per 1' esistenza dell' integrale fdyff(xy)dx non lo sono però per 1' e- 

 sistenza dell' altro fdxfdyf(xy). 



8. — Suppongasi ora che la f(xy) sia uniformemente integrabile, in ge- 

 nerale, rispetto a x, pei valori di y tra cede sia, del pari, uniformemente 

 integrabile, in generale, rispetto a y, per i valori di x tra a e b. — Esiste- 

 ranno allora ambedue gli integrali 



(J b 



jdyjf(xy)dx , Jdxjf(xy)dy 



e X(;v) a y(x) 



e inoltre saranno eguali. 

 Riprendendo la formola 



i{y t ) = à pt f(x p , , y t ) -+- d^+JiXj,,^ ,y t )-i 1- d„,f(x n ,y t ) -+- a{y t ) -+- 



-t- k t 2 d»D t -t- Ofip^fixn—uyt) •+■ 0£ Pl + x f{x Pt + x ,yt) 

 p—i 



e l'altra analoga 



i(x r ) = d q J(x r y q ,) -+- d qr -i- 1 f(x r y qr + 1 ) H 1- dv r f(x r y Vr ) -+- a(x r ) -+- 



-+- K^dAt ■+■ % d qr _,f{x r y qr -.x) -+r \,d /r ^f{x r y^^. x ) 

 si avrà da considerare 



m m m 



2d t i(y t ) = 2rf t \ d p ,f(x p ,y t ) -+- ^,+1/(^+1^) n 1- d nt f{x n ,y t ) \ -+- 2d,a( c y,) -+- 



1 1 ' 



H-ScU/c, 2 &A) -+- Sd, | O x d pt _iJXx Pt _„y t ) -^d^ nt ^J{x nt+l y t ) \ , 



1 \ 9,-1 / 1 



&r«(flSr) = 2£ r | d q J(x r ,y gr ) -+- e^/^,^,^) H h d, T f(x r ,y Vr ) j n-2^ r ff(^ r )- 



1 





-+-1) ! 



