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L'ultimo termine in ciascuno dei secondi membri è inferiore al pro- 

 dotto di L per la somma dei rettangoli dd attraversati dal contorno C\ 

 rammentando quindi le considerazioni esposte precedentemente, si vede 

 subito che quando le d e d sieno abbastanza piccole, gli ultimi tre ter- 

 mini di ciascuno dei secondi membri possono farsi minori di a, a essendo 

 un numero preso piccolo a piacere. — Quanto alle due somme 



m 



2rf« | à p ,f{x pt y t ) H H d nt f(x nt y t ) \ 



i 



n 



2# r \ d q J{x r ,y qr ) H h d,,.f(x r y, r ) j , 



i 



per ogni sistema di parti d e d, che via via si vada considerando, si pos- 

 sono, scegliendo opportunamente i parti (x pt ,y t )..., e gli altri (x r ,y qr ).. iy 

 far sempre coincidere. 

 Si ha dunque 



lim 2id t i(y t ) = lim 2d r i(x r ) 



d—0 8=0 



cioè 



a b 



Jdyjf{xy)dx =Jdxjf(xy)dy . 



8 ( . — Una funzione f{xy) essendo atta all'integrazione in un campo A 

 lo è pure in ogni porzione A x di esso : dimodoché se C t indica una curva 



che separa una simile porzione, l' integrale if(xy)dA x esteso ad essa può 



riguardarsi come una funzione dipendente dalla curva C v — Vogliamo 

 qui aggiungere una proprietà degli integrali di campo considerati sotto 

 questo aspetto. 



Perciò, richiamiamo alcuni concetti stabiliti nella nota Sulle funzioni di 

 linee già pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia dei Lincei (1889). — 



Ente-limite di un gruppo di enti, punti o linee, é un ente, punto o 

 linea, tale che in ogni suo intorno limitato da linee discoste dell' ente me- 

 desimo per più di un numero assegnabile, sono contenuti per intero infi- 

 niti enti appartenenti al gruppo, da ognuno dei quali ciascun punto del- 

 l'ente ora detto, dista per meno di una quantità $ che può scegliersi pic- 

 cola a piacere. 



Ora noi consideriamo nel campo A ogni ente, linea o punto, in esso 

 pensabile e poiché una linea aperta può riguardarsi come una linea chiusa 

 formata di due linee uguali coincidenti e un punto, come un cerchio di 



