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raggio nullo, cosi possiamo limitarci a parlare di linee chiuse. Siano esse 

 continue, rettificabili, e prive di punti multipli. 



Ogni ente della varietà di curve , della quale pensiamo ricoperto il 

 campo A, sia ente-limite per qualche gruppo di enti di essa e ogni ente- 

 limite di un gruppo qualsiasi appartenga alla varietà medesima. 



Fissati due enti qualunque A l e A 2 , si possa sempre sceverare dalla va- 

 rietà un insieme di enti che allacci A l e A 2 : in modo, cioè che preso e 

 piccolo a piacere, mediante una successione di enti dell' insieme, che si 

 considera, discosti ognuno da quello, che lo precede per meno di e, si 

 possa da A 1 pervenire a A a e inoltre ogni ente di un tale insieme sia ente- 

 limite per ogni successione di enti dell'insieme medesimo che vanno a 

 quello avvicinandosi indefinitamente. 



Esprimeremo queste proprietà della varietà, dicendola : perfetta e ben 

 concatenata ; o meglio : una varietà continua di curve nel campo A. 



Funzione degli enti che costituiscono la varietà é una quantità che ha 

 un valore determinato per ognuno di tali enti. 



Continua in un certo ente si dirà la funzione se il valore che ha in 

 esso, è il limite dei valori che ha negli enti di qualsiasi gruppo avente 

 per unico ente-limite 1' ente considerato. 



Su queste basi si dimostrano subito (vedi nota menzionata) anche per 

 le funzioni continue di linee i teoremi fondamentali che valgono per le 

 funzioni continue di punti. 



@. — Nel campo A che supponiamo connesso sia la funzione fixtj) fi- 

 nita e atta all' integrazione e <p(xy) un' altra funzione continua che, secondo 

 il verso positivo di ciascuno degli assi, varia sempre in uno stesso senso, 

 cioè, é sempre non decrescente, ovvero sempre non crescente. 



Di una tale funzione si sa che raggiunge il suo massimo e il suo mi- 

 nimo in punti, in certo qual modo, opposti sul contorno C A ; che, lungo 

 ogni ramo di curva la cui ordinata cresce al crescere dell' ascissa, rispet- 

 tivamente non decresce, ovvero mai cresce; che infine, se g é un valore 

 compreso tra il minimo e il massimo, vi é sempre una linea 4 e una sola, 

 non necessariamente connessa e cogli estremi sulla curva o sulle curve 

 se ve n' é più d' una, che formano il contorno C A , in ogni punto della 

 quale la (p(ocy) assume il valore g. 



Tali linee, poiché di esse ve ne é una per ogni punto del campo e, 

 come si sa e come del resto si dimostrerebbe facilmente valendosi del 

 ben noto teorema di Cantor, godono della eguale continuità, costituiscono 

 una varietà perfetta e come é intuitivo, ben concatenata. 



Se a ciascuna di tali linee si intende unita una delle due parti, non 

 necessariamente connesse, nelle quali il contorno C A é spezzato degli estremi 

 di quella, la curva o l' insieme delle curve, che cosi resultano, é il con- 



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