— 146 — 



torno completo di una porzione del campo ed é manifesto che anche la 

 varietà di tutte le linee cosi composte é perfetta e ben concatenata. 



Indichi Cs una delle curve ora dette e dA V elemento di campo : l' in- 

 tegrale jf(scy)dA esteso alla porzione del campo, racchiusa da C s , è evi- 



Cs 



dentemente una funzione continua nella varietà delle curve C s . — Esso 

 assumerà dunque, per qualche curva C s , il suo massimo, il suo minimo 

 e ogni valore compreso tra questi. 



Gli elementi o s , nei quali consideriamo diviso il campo A, sieno de- 

 terminati dalle linee già accennate q,/ 2 ,.../ n , lungo ciascuna delle quali la 

 <p(xy) ha sempre un valore fìsso e da altre linee A, 17 X 2 ... À m , che possono 

 scegliersi in infiniti modi. 



Si avrà 



ff{xy)(p{xy)dA = lini 2o s f s (p s 

 J u> s — 



C A 



fs e <p s valori delle f(ocy) e <p(xy) in qualche punto di o s . 

 Ora si può scrivere 



2o s f s Cp s = (p^ajl -+- <p 2 2o s f s h h <p„ 2 a s f s -+- <p n 2 o s J s 



dove (p x <p % ■ . . tp n sono i valori fìssi che la <p(osy) ha rispettivamente lungo 

 le linee Z 1 ,l 2 ... l n . : m 1 è il numero degli elementi o s contenuti nella por- 

 zione di campo, il cui contorno è formato da q e da parte di C A : parte 

 di C A nella quale cadrà il punto o i punti di minimo o di massimo della 

 <fi(ocy) ; m 2 — m l è il numero degli o s che cadono nella porzione di campo 

 tra q e l 2 e cosi di seguito; infine w„ +1 — m n è il numero degli a s con- 

 tenuti neh 1 ' ultima porzione, racchiusa da l n e da una parte di C A ; parte 

 nella quale cade il punto di massimo o di minimo rispettivamente della 

 <p{ocy), secondoché essa sarà non decrescente ovvero non crescente se- 

 condo il verso positivo degli assi. 

 Si ha anche 



2o s f s (p 3 = (<p x — ft)Zo,/, -+- (&— tp 3 )2o s f s H (- (<£„ _ : — <p n )2aj s -+- (p n S o s f s 



