— 324 — 



quel punto, si hanno ivi più valori distinti di j v , fra i quali ha luogo la 

 relazione necessaria 



(4) 6 2j v = 0. 



Basta infatti, dopo aver fissato arbitrariamente il senso di s, immaginare 

 che la terna (§, v, n) giri intorno all'asse s, e por mente a ciò che avviene 

 quando l'asse n diventa successivamente normale alle varie falde di su- 

 perfìcie a, e l'asse v tangente a queste falde medesime. Formando cia- 

 scuna volta la rispettiva equazione (4y, coli' attribuzione del debito senso 

 alla differenza Drn s , si riconosce agevolmente che la somma di tutte que- 

 ste equazioni riproduce in ogni caso il risultato (4)j. 



Si consideri, in secondo luogo, un pezzo semplicemente connesso a 

 di superficie a, non contenente linee di discontinuità, e sia s il suo con- 

 torno, n la sua normale. Intendendo percorso questo contorno in guisa 

 che la terna (s , v, n) sia congrua a quella degli assi e che la normale v 

 ad s si diriga verso l'interno di a , si ha (4) b - : 



fSvds =/Dm So d§ , 

 ossia 



f^cUo ==f (Dm a • da ■+- Dm b • db -+- Dm c • de) , 



donde, per il teorema di S t o k e s e per le formole (2)p , 



(4) c /jv d,S =f(Jn -4- jn)do • 



Si hanno cosi quattro distinte proprietà dei due vettori j e j , cioè 

 quelle che sono rappresentate dalle equazioni (4), (4) 0i &, c ; e propriamente 

 una, (4), che si riferisce al solo vettore J, due, (4) a6 , che si riferiscono 

 al solo vettore j e finalmente una, (4) c , che stabilisce un nesso fra i due 

 vettori. Il carattere eli quest'ultima equazione é, in apparenza, diverso da 

 quello delle prime tre, le quali sussistono per ciascun punto sia dello 

 spazio S, sia delle superficie a, sia delle linee s di discontinuità. Ma, 

 come si vedrà nel § 5, la detta equazione può essere sostituita da un' al- 

 tra equipollente, che riveste lo stesso carattere delle altre tre. 



§ 4. Le quattro proprietà testé stabilite per i vettori j, j possono ri- 

 cevere un' interpretazione (meramente illustrativa) che giova mettere su- 

 bito in rilievo. 



