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È facilissimo riconoscere che ciò non é sempre possibile. 



Infatti dalle equazioni (3) a , i di cui primi membri son nulli, per ipo- 

 tesi, in tutto lo spazio S' esterno ad S, segue immediatamente che, in 

 questo spazio esterno, deve esistere una funzione continua U delle oc, y, z, 

 tale che sia 



_ *u _ w w_ 



x ~ toc ' y ~ ìy ' • * — ~~ te ' 



funzione che non può invece esistere, in forza delle stesse equazioni, nel- 

 P interno di S. Questa funzione non può differire (1) che per una costante 

 dalla funzione potenziale esterna V della supposta distribuzione magnetica, 

 talché, in tutto lo spazio esterno S', dev'essere V=U-+- C, dove C è una 

 costante. Ora V é, per la sua stessa definizione analitica, una funzione 

 necessariamente monodroma, mentre ciò non può affermarsi per U, a 

 meno che lo spazio S' non sia semplicemente connesso. E che la funzione 

 U possa effettivamente essere polidroma, quando questa condizione non 

 si verifichi, si vedrà nei §§ successivi. In generale non esiste dunque una 

 polarizzazione magnetica equivalente in terna polare a due dati vettori j, j. 



Ma quando la funzione U è monodroma (nel qual caso essa possiede 

 necessariamente, (5) OJ a meno d'una costante additiva, tutti i caratteri 

 d' una funzione potenziale magnetica esterna), é sempre possibile, ed in 

 infiniti modi, determinare una distribuzione magnetica soddisfacente alle 

 condizioni volute, che è quanto dire alle equazioni (2)f, f. 



Infatti il confronto di queste colle (3) a , a . dà : 



dG, òG v tì>m~ dm 



(6) 



ossia 



te ~ \ ìy te ) ' 



et e. 



~òy te \ dy 



DG z ^-_ DG *± = a k ÌDm z P- — Drn-y ^) , etc. 

 Jtn. J òn \ un J ì>n) 



z—(G z — 4jtm.) — -z-(G v — 4nm v ) = , etc. 



()?/ te N * J 



D( G, — Anm,) ^- — D( G« — 4nm y ) ^ = , etc. 

 ~ <>n J ìn 



In virtù delle tre prime di queste condizioni, deve esistere una funzione V 

 tale che si abbia, in ogni punto ordinario, 



Ì>V W iV 



(6) a G x = — h 4nm x , G v = — 1- 4nm v , G 2 = — h 4jtm- , 



ùx ly * te 



