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I. 



1. Abbiasi l'equazione differenziale lineare dell'ordine p, omogenea, re- 

 golare nel senso del Fuchs ed a coefficienti razionali 



dove 



(2) P = (f—a 1 )(t — a 2 )---(t—a r ); 



i punti «j, a 2 ;...a r ed il punto ^ = co sono i punti singolari dell'equa- 

 zione (1). 



Faremo l'ipotesi che le radici dell'equazione determinante relativa ad 

 ogni punto ah{h = 1, 2, .. . r) siano tali che la loro parte reale sia mag- 

 giore di — 1 ; ne risulta che essendo <p un integrale particolare qualunque 

 dell' equazione, l'espressione 



f<PWt 



estesa ad un cerchio di centro a h e di raggio piccolissimo andrà a zero 

 col raggio del cerchio. Questa ipotesi non costituisce però una restrizione 

 essenziale, perché colla trasformazione 



q> = Pty 



dove g è un esponente intero convenientemente scelto, l'equazione (1) si 

 può sempre trasformare in un'altra che abbia la proprietà indicata. 



Si indichi con l una linea chiusa qualsivoglia di lunghezza finita, ma che 

 non passi per alcuno dei punti a n a 2 , .. . a r ; se (p(f) è un integrale partico- 

 lare qualunque dell'equazione (1), il quale si intenda continuato analitica- 

 mente lungo la linea l, è noto che l'espressione 



(3) J'<p(t)(f — xfdt 



i 



dove l' integrazione s' intende estesa alla linea l percorsa in un senso de- 

 terminato e che si può riguardare come una trasformazione funzionale 

 della <p(t), rappresenta in tutto il piano oc, all' infuori dei punti della linea 



