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essendo (p(t) ciò che diviene <p(t) dopo un giro della variabile t intorno al 

 punto a h . Combinando questi due risultati, si ha il modo di comportarsi 

 di y(x) per qualunque contorno chiuso descritto da x. 



Ma (p{t), <p(t),.. sono espressioni lineari a coefficienti costanti di <p x , 

 <p„,...<p p ; onde segue che ogni ? AA (a?) é una tale funzione della x che 

 quando questa variabile descrive una linea chiusa, essa si trasforma in 

 una funzione lineare omogenea a coefficienti costanti delle rp funzioni 

 q h k(x). Da ciò il teorema: 



Ogni espressione 



n {x) =fp(t)(t — sbydt , 



dove <p(i) è un integrale particolare qualunque dell' equazione differenziale 



lineare (1) d'ordine p di cui a h (h = l, 2, r) sono i punti singolari, è 



integrale particolare eli una equazione differenziale lineare omogenea in x 

 a coefficienti uniformi, di un ordine non maggiore di rp , ma riducibile, 

 come si vedrà in seguito, ad un ordine notevolmente inferiore. Questa equa- 

 zione si dirà trasformata dalla (1) mediante la trasformazione funzionale (3). 



Da questa proposizione, e dal modo di comportarsi dell' integrale defi- 

 nito (3) quando la variabile x descrive un giro qualunque nel suo piano (§ 5) 

 risulta che l'integrale (3) dopo un giro qualunque compiuto dalla x riprende 

 lo stesso valore moltiplicato per una costante ed aumentato di una fun- 

 zione lineare delle i?(x) a coefficienti costanti ; da cui risulta subito il teo- 

 rema: 



Ogni espressione 



Jcp(t)(t — xfdt 



dove 1 è una, linea chiusa del piano i, è integrale di un'equazione lineare 

 non omogenea deW ordine rp al più, il cui primo membro coincide col primo 

 membro dell' equazione differenziale lineare omogenea trasformata della (1). 



7. Le considerazioni dei §§ 2-5 e segnatamente le espressioni date al 

 § 4 per la C&, permettono di dedurre immediatamente dalle sostituzioni 

 subite dal sistema d'integrali (p l , (p 2 ,...(p p quando la variabile t descrive 

 un contorno chiuso, la sostituzione subita dalle ^m(x) quando la x per- 

 corre lo stesso contorno. In altre parole si può, dal gruppo dell' equazione 

 lineare (1), dedurre il gruppo dell' equazione lineare trasformata. 



Inoltre neh' intorno di ogni punto x diverso da uno dei punti a h o da 

 x = oo le funzioni q(x) sono ad un valore, finite e continue ; onde segue 



