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Se esiste una linea chiusa non riducibile per deformazione continua ad 

 un punto, tale che un integrale particolare (p(t) della (1) riprenda al punto 

 di partenza il suo valore iniziale dopo che la variabile ha percorsa Vini eia 

 linea, V integrale definito 



f(p(t)(t — xydt , 



è un integrale dell'equazione differenziale lineare trasformata della (1). 



10. Può accadere che per una stessa linea A, più integrali particolari 

 abbiano la proprietà indicata. 



Può anzi avvenire in certi casi che esistano linee (non riducibili ad 

 un punto) tali che tutti gl'integrali particolari dell'equazione (1) riprendano 

 lo stesso valore quando la variabile ha percorso la linea stessa. Una tale 

 linea verrà distinta col nome di ciclo. 



Qualunque punto t del ciclo si può riguardare come suo punto iniziale. 

 Di più, il ciclo si può far passare per qualunque punto non singolare (,, 

 del piano, poiché basta considerare 



tfo -t- A -+- t t ; 



questo é daccapo un ciclo, non sostanzialmente distinto dal precedente. 



Ad ogni linea chiusa A che parta da t e vi ritorni, corrisponde una 

 sostituzione del gruppo dell'equazione lineare (1). Se ad ogni sostituzione 

 del gruppo facciamo corrispondere un foglio della Riemanniana ( * J dei cui 

 punti l'integrale della (1) è funzione uniforme, potremo dire che la linea A 

 non é chiusa, sulla Riemanniana, a meno che non sia un ciclo. I cicli 

 esistono dunque ogniqualvolta il gruppo di sostituzioni della (1) contiene 

 una sostituzione uguale (senza però essere riducibile identicamente) al- 

 l'unità ; sia 



t — s; m nS^s . . . Sr^s/'iS^- . . . = ì 



una tale sostituzione, se 



Oj , o 2 , . . . o r 



sono le sostituzioni generatrici del gruppo : ad ogni distinta sostituzione T 

 corrisponde un ciclo e viceversa. 



Se due linee A v A 2 sono cicli, lo é pure la linea A l -\-A 2 ; l'insieme dei 



(") Ad infiniti fogli, però numerabili. V. Viranti e Poincaré, Rendiconti del Circolo Ma- 

 tematico di Palermo, T. II, 1S8S. 



