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UT. 



13. Nei paragrafi precedenti abbiamo dimostrato a priori come gl'in- 

 tegrali definiti (3), estesi ad una linea che vada da x ad uno dei punti 

 singolari a t -, oppure ad un ciclo (se ne esistono), soddisfano ad una equa- 

 zione differenziale lineare a coefficienti uniformi in x ed i cui punti sin- 

 golari sono gli stessi che per 1' equazione (1). È facile ora di formare ef- 

 fettivamente questa equazione, che vedremo essere dell' ordine r uguale al 

 grado del polinomio Poi^^Lp) e a coefficienti razionali. 



A quest' effetto, pongo 



(13) y(x) =f(p{t)(t — xf^ ì '-'-'dt , 



x 



essendo À un ciclo ed x essendo esterno alla linea d' integrazione. Si 

 escludono per a i valori interi negativi. L'ipotesi dell'esistenza di un ciclo 

 non ha nulla di restrittivo; infatti noi sappiamo già che l'equazione delle 

 rj(x) è la stessa dell'equazione dell'integrale (3) esteso ad un ciclo, ed ora 

 trattasi soltanto di determinare 1' equazione in via puramente formale. 



Dalla (13) si deduce mediante la derivazione applicata h volte rispetto 

 ad x, ed indicando le derivate per mezzo di indici superiori: 



y ih \x) — {—\)\o -+- r— p) ■ ■ • (a -4- r—p — h -h 1) f (p(t)(t — x) a +''—> , -> , dt ; 



x 



da questa, applicando k volte l' integrazione per parti e notando che per 

 essere X un ciclo ed x esterno alla linea d' integrazione, la parte ai limiti 

 é nulla, viene: 



(14) y [h \x)={—l) h - h (a^-r— p )...(a-hr— p— h-*-k-hl)f(pW(t)(t— a:) c + r -*- h + k dt^ 



x • 



Ora si osservi che, posto per k intero e positivo 



<Tk 



ne viene 



(a + l)((r+2)-(ff + /c)' 

 (a -+- k)a h = ffk-i , 



