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onde segue che il simbolo a k si può definire anche per il valore nullo e 

 per un valore intero negativo dell' indice, avendosi 



0- o = l, a_ k =.a(a — 1) •••(a — fc-t-1). 



Mediante questa posizione, la formola (14) vale anche se a A; si danno 

 valori uguali o superiori ad h, e si ottiene cosi la formola generale: 



(15) y m {x) — (— \)\a -+- r — p) k f<p ,h + h) {t){t — x)°+ r -?+ h dt , 



i 



che é valida per ogni intero A da — h d -+- co. 



14. Riprenderemo ora l'equazione (1), che riscriveremo: 



(1) Po(t)(p ip) -+- P x {t)(p^ l) H h P p {t)(p == , 



essendo, come si è detto, P un polinomio razionale intero del grado r, e 

 per essere l'equazione regolare, P,, P 2 ,...P P rispettivamente dei gradi 

 r — 1, r — 2,...r — p. Scriveremo in questa equazione il coefficiente P/,(f) 

 nella forma 



P h {t) = P h {x) -+- P[(x)(f-x) -+- P^)^=^ -+- • ■ • -h P^- h) (x) {t ~^ T ~ h ; 



moltiplicando allora l'equazione (1) cosi modificata per (t — aifdt ed inte- 

 grando lungo il ciclo A, si ottiene, tenuto conto delle forinole (13) e (14), e 

 della relazione Ok{(y -t- k) = o~k— x ' 



P {x)tr-({o+l)P (x)-P x (x)yf-^ -+- ^+1)(^-H2) p ,, _ (ff _ f _ 1)p; _ H p 2 ^ ;r - 2) _ 



(16) .■■-^(-iy/ (0 '~ Hl)((T ~ H2) " ,(ff " hr) p <r) (g-HXg-»-2)-((7-t-/°— l) p (} ._ 1)h ^_ 



. \ r ! r — 1 ! 1 



,((r-hl>.-(aH-r— />) D , r _ a 

 r ■ 



( _ i), '-';^7-" f ,>-,. )„ = « 



Posto dunque 



y(x)=J(p(i)(t—xydt, 



con /j = a -+- r — p, questa relazione trasforma l'equazione differenziale 

 lineare (1) dell'ordine p e con r punti singolari, in un'equazione differen- 



Serie V. — Tomo IL 68 



