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ziale lineare omogenea (16) dell' ordine r, coi medesimi r punti singolari 

 della precedente, a coefficienti polinomi e ad integrali regolari. Questa è 

 l'equazione cui soddisfano le ^(x) di cui al § 6 e gì' integrali estesi ad un 

 ciclo ( *>. 



15. Sulla trasformazione precedente si possono fare alcune osserva- 

 zioni. 



a) È noto che le trasformazioni speciali di Laplace e di Heine 



fme'-àt, J&&, 



t — x 



trasformano l'integrale di un'equazione differenziale lineare in un integrale 

 di un' altra o della stessa equazione lineare. Noi troviamo qui che anche la 

 trasformazione (3) gode della medesima proprietà. Per il caso di a = — 1 

 il risultato (16) non é dimostrato, poiché si é escluso da a sia un numero 

 intero negativo; tuttavia la trasformazione si può fare direttamente, e si 

 ottiene, come equazione trasformata, la stessa equazione (1) in cui la <p(t) è 

 sostituita con y [r ~ p \x) ; e ciò accade anche nella (16) facendosi la a 

 uguale a — 1. 



b) Quando l'equazione (1) é del prim' ordine, la (16) diviene: 



(17) P {x)y^ - ((/> - r-tr 2)P (x) - P,{xj)y "- 11 -+- 



* \x) — (p — r-h 2)P[(x))y <*- 2 ) H H 





1-2 



^ ( _ ir ( ^-'-^---<^') p,,. IW - </'-'^- i a )"-P p l ,-^ ) ) y= o. 



Questa non é altro che la notissima equazione ipergeometrica genera- 

 lizzata del signor Pochhammer { ** ] , talché giungiamo al risultato che la 

 trasformazione (3) applicata all' integrale di un' equazione lineare del primo 

 ordine, origina la equazione ipergeometrica generalizzata. 



cj La stessa trasformazione applicata all' integrale di un' equazione 

 ipergeometrica generalizzata di Goursat dell' ordine p — 1 '***', permette 



(*) A questa trasformazione, usata in una questione più speciale dal sig. Pochhammer nella 

 .Memoria: Ueber die Differentiaìgleiehung der allgemeineren hypergeometrisehen Reihen mit 2 end- 

 lichen singulàre Punkten, Creile, T. CU, pag. 76, si potrebbe dare il nome di trasformazione del 

 Pochhammer. 



(**) Creile, T. LXXI. — Cfr. Jordan, Cours d'Analyse, T. Ili, p. 241; Goursat, Acta Mathe- 

 matica, T. II. 



(*»*) Pochhammer, J. di Creile, T. CU pag. 76. 



