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se ne deduce coli' integrazione per parte, notando che per essere X un 

 ciclo la parte ai limiti é nulla: 



f$\t){t-xy^dt=-(p+l)y(x; p) 

 x 

 da cui 



(20) f(p (k) (t)(i— xy ìrh dt=(— l?(p+h)(p-hh— l)-(p-4-/i— k-+-l)y{x) p+-h— k). 

 Riscrivendo ora l'equazione (1) come si é fatto al § 14, cioè: 



(p o (x) h- (t — x)P[{x) -+-■■■ ( -^^V (a?)W H h 



-+- (p p (x) + (t- x)P' v {x) -+- • • • -+- {t ~^* P P r - p) (x))<P = o ; 



moltiplicando per (t — xf~ r *~ p dt, integrando lungo X e tenendo conto 

 della formola (20), si ottiene 1' equazione ricorrente : 



(p — r H- \){p — r-h2)---(p — r-+- p)P (x)y(x; p — r)-^ 

 (p-r+2)(p—r+3)...(p-r+p)((p — r+p+l)P'-P^y(x-,p—r+l)- 

 / (^H-lX/o-t-: 



(21) ^/ (/J _ f _ 1 )( /0 _ K2 )...( / )-H-p) (p-t-l)-^^/;-!) ^ : 



~^° r — 1 ! ^ 



equazione notevole, che contiene evidentemente come casi particolari le 

 note relazioni lineari fra le funzioni contigue ipergeometriche, tanto ordi- 

 narie che generalizzate. Osservando che la y(x; p) come funzione delle due 

 variabili x e p soddisfa all'equazione mista differenziale e alle differenze 

 dal prim' ordine 



ìy(x ; p) 



ìx 



py(x;p — l) = 0, 



si può, con un calcolo semplicissimo, ricavare a piacimento la (21) dalla 

 (16) o viceversa. 



18. Riassumendo, abbiamo visto nei §§ precedenti come 1' operazione 

 che abbiamo chiamata trasformazione funzionale sotto forma d'integrale 

 definito valga, quando si prenda come funzione caratteristica la (y — x) ? , a 



