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neare ricorrente dell'ordine m; in altri termini K v si può esprimere in 

 funzione lineare di K v _ u K v _ 2 , . . . K,_ m , in cui figurano nei coefficienti 

 i coefficienti delle varie potenze di 1 in A n , A x , ... A p . Questo risultato, ben 

 noto, si deduce dalla forinola 



Ky = — fé\t)t°+^dt 



ottenuta dalla (24) mediante l' integrazione per parti. 



b) La funzione xp{t) = 0(t)G a (t, oc) soddisfa ad una equazione diffe- 

 renziale della forma precedente, dell'ordine p, ed in cui il grado in t del 

 coefficiente A è m = np-+-r; inoltre i coefficienti A , A 1 ,...A P conten- 

 gono razionalmente la se. Ciò si dimostra senza difficoltà derivando suc- 

 cessivamente la 



<p=G~°ip, 



sostituendo nell'equazione (1) e dividendo tutto per G~ °~ p ; la t entrerà 

 al più alto grado nelle parti 



Pfi», Pfi",...P p G» 



dei coefficienti, cioè ai gradi rispettivi 



np -+- r, np -+- r — 1 , np -\- v — p . 



e) Applicando alla funzione ip il teorema enunciato in aj si trova 

 che le espressioni 



(25) J, =J(p(t)G\1, oc)fdt , (v = 0, 1 , 2 , ) 



x 

 sono legate da una relazione ricorrente dell' ordine tip -+- /% a coefficienti 

 razionali in x. Onde risulta che una espressione (25), per qualunque valore 

 intero positivo di v, si potrà esprimere mediante una funzione lineare, a 

 coefficienti razionali in oc, di -7 , J lt J 2 , ... Jnp + r — ^ ' indicherò una tale 

 funzione lineare con 



-^(^o' *A> ••• J n P ■+■ ■*• — i) ■ 



Segue da ciò che, essendo R(t) un polinomio razionale intero di grado 

 qualunque in t, anche 



(26) J<p(t)G\t, oc)R(t)dt 



