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.sarà esprimibile mediante una funzione L(J , J^, ... </^ +r _lj). 



22. Ciò premesso, riprendiamo 1' espressione (22') ed osserviamo che, 

 posto 



a = p — np — r 



.si ha 



J(x) =jG'\t, x)G ni> + r {t, x)(p{t)dt , 



ma G" p ~*~ r (t, x) è un polinomio razionale intero in t, onde per essere J{x) 

 della forma (26), si potrà porre 



J{X) = L, (J , t/j , ... Jnp-t-r — i) • 



Derivando rispetto ad x : 



dJ /- ^„ nJ _,._„, ^G 



efo? 



= p/bu a>)Gf»*+"-V, «) -^WW 



•ed anche qui G r,p '*"' L - — essendo un polinomio intero in t, si ha: 



^7 — L X (J , J 1 , . . . t/« j p_ H r_ 1 ) . 



Per ogni derivata successiva di J rispetto ad x si potrà ottenere una espres- 

 sione analoga, e si seguiterà fino alla 



rfnp-i-rj 



dgffP-ì-r = ■^•np^.Ayo, "il.-" Jnp+r—j) ■ 



Eliminando ora fra queste np -+- r -+- 1 equazioni lineari le np -+- r quan- 

 tità J ,J 1 ,---J n p-{-r— l , si ottiene una relazione lineare a coefficienti razio- 



dJ d np ~*~'J 

 nali in x fra J, ~7~ ? • • • _? , Mp — r - ^ ^ C0SI ottenuta l'equazione differenziale 



lineare, omogenea, a coefficienti razionali in x, e&? soddisfa l'espressione 

 (22'). L' ordine di questa equazione è np -+- r. 



Osservando che i coefficienti in x dei polinomi che si ottengono colla 

 derivazione successiva : 



Sa? r Va?/ S^r 



