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sono di grado ordinatamente decrescente di un' unità, si dimostra senza 

 difficoltà che questa equazione differenziale della J é regolare nel senso 

 del Fuchs. Sono punti singolari per essa le radici delle equazioni 



G(co,x), G(a { ,x) = 0, (i= 1, 2, ... r) 



ed inoltre le radici del discriminante in x dell'equazione (23). 



23. Le varie espressioni della forma (26), per uno stesso valore di a 

 o per valori differenti fra loro di numeri interi, soddisfano acl equazioni 

 lineari della stessa specie che si formano come si é detto al § prece- 

 dente. In questa specie di equazioni si distinguono sistemi ricorrenti, cioè 

 sistemi di equazioni i cui integrali sono legati da una relazione lineare 

 ricorrente, a coefficienti razionali in x. Tali sono in particolare i sistemi di 

 equazioni cui soddisfano le 



(27) J(p(l)G%t, x)t\lt , (v = , 1 , 2 , ) 



ed anche le 



(28) f(p{t)G°+\t, x)dt , (v = 0, 1 , 2 , ) . 



x 



1 



Le (28) ci danno il sistema delle funzioni sferiche per (p(t)=l, a = — -, 



IV 



G(t, x) = l — 2tx H- f; esse ci danno pure le funzioni sferiche generalizzate 

 che ho studiate in un recente lavoro ( *' per 



<p(t) = 1 , a = — | , G(t, x) = f— 3te+l. 



24. Sembra degno di osservazione il caso in cui si fa (p{t) = 1 ; si 

 viene allora a studiare l' integrale, esteso ad una curva convenientemente 

 presa, 



(29) H{x) = fG*(t, x)dt . 



\ 



In questo caso p=l ed r=0, poiché l'equazione (1) si riduce a tp'=0; 

 pertanto la H(x) soddisfa ad una equazione differenziale lineare regolare 



(") Mem. dell' Accad. di Bologna, S. V, T. I. 

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