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che denotiamo con A, A' ; determiniamo lo inviluppo della retta |^4^4'| e 

 il luogo dei punti A, A'. 



Denotiamo con il punto centrale e cono l'angolo di rotazione: sieno 

 P 1? jP 8 i punti corrispondenti a P secondoché quest'ultimo è pensato ele- 

 mento della prima o della seconda figura; se a x , b l , sono i raggi cor- 

 rispondenti rispettivamente ad a, b, , considerati questi come apparte- 

 nenti alla prima figura, ed al, b' 2 , — sono i corrispondenti ad a',b', 



considerati come appartenenti alla seconda figura, é chiaro che i due 

 punti omologhi (nelle due figure) posti sui due raggi corrispondenti (nei 

 due fasci progettivi concentrici) a, a', sono 



A = (aa' 2 ), A' = (a'a x ) . 



Ciò posto, i due fasci uguali direttamente P(à, b, ), P^ci^, b x , ) gene- 

 rano con le intersezioni dei loro raggi corrispondenti (aa a ), un cerchio, 



che diremo C?, passante per i tre punti O, P, P t ; e analogamente i due 

 fasci P 2 («2, ài, ....), P(a', b',....) generano il cerchio Ci passante per O, P 2 , P. 

 I due fasci poi P(a', ....), P^a^, ....), per essere entrambi projettivi al fascio 

 P(a, ....), son projettivi fra loro e perciò il luogo del punto (a'a^j^A' è 

 una conica K\ passante per i punti P, P, . Analogamente si riconosce che 

 il luogo del punto A = (acù) è un'altra conica K\ passante per P 2 , P ed 

 uguale a K 2 (la corrispondente di K\ quando questa si consideri apparte- 

 nente alla seconda figura). Queste due coniche K 2 , Kl passano rispettiva- 

 mente per i punti d'intersezione dei cerchi C 2 , Ci con i raggi uniti dai 

 due fasci projettivi concentrici P(a, ....), P(a', ....). Il luogo dei punti medi 



dei segmenti AA' é, per un teorema noto ( *>, una terza conica K 2 simile 



n 



a Ki, K 2 , essendo il centro di similitudine, cos- il rapporto di simili- 



o 



tudine e =t- l'angolo di rotazione: ne segue che lo inviluppo della retta 



\AA'\ é la prima pedale negativa di questa terza conica K 2 rispetto al 

 punto centrale O, ossia é la polare reciproca della inversa di K 2 rispetto 

 a O; e siccome questa inversa é, in generale, una curva del quart' ordine 

 e sesta classe avente due punti doppi nei punti ciclici e il terzo punto 

 doppio in O, se ne conclude che lo inviluppo cercato é, in generale, una 

 curva del sest' ordine e di quarta classe le cui tangenti doppie sono la 

 retta all'infinito e le due rette isotrope uscenti da O. Abbiamo cosi il 

 teorema. 



Dato un punto fisso P, le coppie di punti omologhi delle due figure tali 



l*> Chasles, loc. cit. § 15. 



