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che vengono projettate da P in coppie di raggi corrispondenti di due jasci 

 projettivi, sono sopra due coniche eguali passanti pel punto P ; 



E le eorde che uniscono i punti omologhi delle due coniche inviluppano 

 (in generale) una curva della quarta classe e del sest' ordine avente per 

 tangenti doppie la retta all'infinito e le due rette isotrope uscenti ded punto 

 centrale l * ) . 



Questo enunciato, insieme a quello del successivo § III, rettifica quello 

 dato dal Chasles (loc. cit. § 17). 



II. Se i raggi uniti dei due fasci projettivi concentrici P(a, b, ) 



P(a',b', ) coincidono entrambi nella retta \PO\ le due coniche K 2 , K 2 



toccano nel punto centrale rispettivamente i cerchi C, 2 , C 2 ; la conica K 2 

 ha in uno dei suoi vertici e lo inviluppo della retta | A A' \ , cioè la 

 prima pedale negativa della conica K 2 rispetto al suo vertice O, é la po- 

 lare reciproca rispetto ad O di una cubica circolare di quarta classe 

 avente in il suo punto doppio, ossia una curva del c/uart 'ordine e terza 

 classe, tricuspidale, avente per bitangente la retta all' infinito. 



III. Suppongasi ora che i due fasci projettivi concentrici P(a, b, ), 



P(a', b', ), sieno eguali direttamente; abbiano cioè per raggi uniti le due 



rette isotrope uscenti dal punto P: in questo caso particolare le due coni- 

 che K\, K 2 divengono cerchi eguali passanti per P; K 2 è pure un cerchio 

 avente il suo centro M sulla retta |PO|, e lo inviluppo della retta |^4^1'|, 

 cioè la prima pedale negativa di questo cerchio K 2 rispetto al polo O, è 

 una conica dotata di centro, che denoteremo con H 2 , ellisse o iperbole 

 secondoché il punto O é interno o esterno a K 2 , la quale ha due vertici 

 sulla retta \OP\ nelle estremità del diametro di K 2 ; è un fuoco e i due 

 raggi che da M progettano i due punti (reali o immaginari conjugati) di 

 intersezione di K 2 con la polare di O, rispetto a K 2 , ne sono gli assintoti. — 

 Abbiamo cosi il teorema : 



Dato un punto fisso P, le coppie di punti omologhi delle due figure, tali 

 che le corde che li uniscono due a due sieno viste da questo punto sotto un 

 angolo di grandezza data, sono sopra due circoli eguali che passano per il 

 punto P; E queste corde inviluppano una conica a centro, bitangente ad 

 ognuno dei due circoli { ** ] . 



IV. Se denotiamo con a l'angolo costante di due raggi omologhi et, a', 

 dei due fasci direttamente eguali, e con d la distanza fra il punto centrale 

 O e il punto fisso P, si trova facilmente che : 



CI Questa curva ha quattro punti doppi, che sarebbe facile costruire, sei cuspidi e zero flessi, 

 è inoltre quadritangente a ognuna delle due coniche Kì, Ki. La curva inviluppo congiungente i 

 punti corrispondenti di due coniche projettive situate in un medesimo piano é stata studiata dallo 

 Schroter nella Mem. Ueber die Erzeugnisse krumrner projektìvischer Gebilde. (Giornale di Creile 

 voi. 54). 



(*") Cfr. il precedente § I e Chasles, loc. cit. § 17. 



