Gewicht svcrt eil mig bei trigonometrischen Punktbestimmungen. 



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M 



b 2 = — (M - \/\m+M] [a»-Afj.) ■ 



Zu denselben Resultaten führt die Analyse des Ausdruckes .1/f. nach Gleichung (16. 

 Für ein gleichseitiges Dreieck gilt: 



3H = M, 



da hier die gleichmäßige Gewichtsverteilung mit der günstigsten identisch ist; mithin 



(27 



M 2 M 2 



A 2 - — , B 2 = — also A — B 

 9. 2 



M 

 V/2 



das heißt, bei gleichseitigen Dreiecken geht die Fehlerellipse in einen Kreis über, was auch die 

 Unbestimmtheit des Ausdruckes für ty bestätigt : 



tg 2 [fc-fl = sin a sin T sin[ T -cg_ 



sin- ß — sin a sin 7 cos [7— a] 



_ _0_ 





 bei a = ß = 7. 



Im Sinne der Gleichungen (26 und (27 ist der Unterschied zwischen den Ellipsenachsen umso 



größer, je mehr die Dreiecksform von der Gleichseitigkeit abweicht. So erhält man beispielsweise für 



a = 10.000 m, m = 10", P = 100; a = 20°, ß = 60°, 7 = 100° : 



3R = 56 • 1 7 cm, M = 49 • 45 c;;/ , 



hieraus 



yl — 43-37 cm, B = 23- 75 cm 



und, wenn die Basisrichtung' <|> = 90° gesetzt wird, als Richtungswinkel der Ellipsenachsen 



% A — (J)-(J) = 17° 11' 12", 



ß = e^+go ^^^ ii' 12", 



hingegen für a. = 70°, ß =: 7 = 55° mit Beibehaltung der Werte für a, m und P: 



Tl= 8-19 cm, M— 8- 15 c«, 



^4 = 6 • 04 cm, B— 5-48 cm, 

 und 



0. 4 = 90°, ß =180° oder 0°. 



Das Auftreten von Fehlerkreisen bei gleichseitigen Dreiecken legt die Frage nahe, unter welchen 

 Bedingungen bei beliebig geformten Dreiecken die Fehlerellipsen in Fehlerkreise übergehen könnten. 



Die Beantwortung dieser Frage ist deshalb von besonderem Interesse, weil man vom Standpunkte 

 der geodätischen Praxis an jede gute Punktbestimmung die Forderung stellt, die mittlere Punktver- 

 schiebung soll nach allen Richtungen gleich groß, ihr absoluter Betrag ein Minimum sein oder mit anderen 

 Worten: Die mittlere Fehlerfläche soll ein Kreis mit möglichst kleinem Radius sein. 



Zum näheren Studium dieser Aufgabe müssen zunächst die Ausdrücke für die Ellipsenachsen in 

 allgemeiner Form dargestellt werden. Hiezu kann man Gleichung (15 oder (16 verwenden: 

 *2r2 f sin 2 [^ — ß] 



m= 



m~ c* 



PiP-> +PiPi +P2P3 



(p 1 a 2 s\n 2 -(—p 1 a 2 cos 2 7— p 3 b 2 +p 3 c 2 sm 2 a—p s c 2 cos 2 <x) 

 a* sin 2 7 



sin 2 [<l»-ß] 



a sin 7 



(p 3 c cos ci—p 1 a cos 7) 



& 2 



»(28 



+ p 1 cot 2 -[+p 2 _ +p 3 cot 2 a. 



a- sin 2 7 



