Gewichtsverteihmg bei trigonometrischen Punktbes/iniiiiiiugeii. 



Untersuchen wir zunächst die Größen unter dem Wurzelzeichen: 



p\ {q 2 -kl) = 16 F*p\ (- 12 F 2 -a 4 -Z> 4 -c 4 + a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 



3 



137 



= 16F 2 je> 2 -12 F 2 



[—«*—&*— c* + 2 a 2 & 2 + 2 a 2 c 2 + 2 6 2 c 2 ] - 



a 2 + ^ + c 2 



= -iöf^i 



a 2 -hb 2 + c 2 



2 



ferner 



und 



2 Pj? 2 (gr - ifes) = 16 F 2 Pp. 2 (8 F 2 + a 4 + c 4 - « 2 6* Z> 2 e* 1 



= 16 F 2 Pp 2 — (« 4 -b 4 - + c 4 - + 2 er 2 c 2 ) 



= 16 jPPp, — (a 2 + b- + c 2 ) (a 2 -6 2 + c 8 ) 



= 16 F 2 Pp., a c cos ß (a 2 + & 2 + c 2 ) 

 F 1 (r 2 -kc l ) = 16F-P 3 (4F 2 -a 3 c 2 ) = - 16 F 2 P 2 a 2 c 2 cos 2 ß. 



Die Substitution dieser Werte in (35 führt zu einem für das vorliegende Problem charakteristischen 

 Wurzelausdruck : 



± 4 F . / - il (a 2 + £ 2 + c 2 ) 2 + Pp 2 ac cos ß (a 2 + & 2 4- c 2 ) - P 2 a 2 c 2 cos 2 ß 



= ±4F 



-( ül_ [a 2 + £ 2 + c 2 ] — Pac cos ß 



(36 



Daraus erhellt, daß die Unbekannten p v p 2 ,p s komplexe Größen sein müssen. Wenn auch die 

 Weiterführung dieser Auflösung in erster Linie aus Raumrücksichten unterbleiben muß, so ist doch 

 anderseits zu bedenken, daß derselben keinerlei praktische Bedeutung zukommen kann, da Gewichts- 

 zahlen stets auf das Gebiet reeller Größen beschränkt bleiben müssen. 



Voraussetzung hiefür ist im gegebenen Falle das Verschwinden des Wurzelausdruckes in (36, also 



Pi 



(a 2 + b 2 + c 2 ) — Pac cos ß = 



2 ac cos ß 



und hieraus mit 



a 2 + b 2 + c 2 

 k—lßF 2 + (a 2 -c 2 ) 2 — b 2 (2a 2 -b 2 + 2c 2 ), 



p 2 q= ^- (-a i -b i + c i + 4a 2 b 2 ), 



Li 



(37 



weiter 



und schließlich 



Pr— — (a* + M-c 4 — 2ß 2 b 2 -2 b 2 c 2 ) 



Pl = F 

 Pl = P 



-2a i -b i +2c i + 3 a 2 b 2 + b 2 c 2 __ -a 2 + b 2 + c 2 

 (2a 2 - b 2 + 2c 2 ) (a 2 + b 2 + c 2 ) a 2 + b 2 + c 2 



2 bc cos <x 



a 2 + b 2 + c 2 

 2 ab cos y 



P 



a 2 + b 2 + c 2 



Denkschriften der mathematisch-naturw. Kl. LXXXVÜ1. Bd. 



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