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Damit sind zwar die Gewichte gefunden, welche den Übergang von Fehlerellipsen auf Fehlerkreise 

 bedingen; da indes der Minimumsforderung (31 nicht entsprochen werden konnte, infolge des beschränkten 

 Geltungsgebietes von Gewichtszahlen überhaupt, so wäre noch zu untersuchen, in welcher Beziehung 

 die mittleren Fehlerflächen — Ellipse und Kreis — zu einander stehen. 



Vorerst scheint es aber notwendig, Gleichungen (37, (38 und (39 zu überprüfen. 



Soll nämlich nach Einführung von p v p. 2 und p 3 an Stelle der Fehlerellipse ein Kreis entstehen, dann 



muß tg 2 [<p — ß] den unbestimmten Wert -- annehmen, weil jetzt eine ausgezeichnete Richtung nicht 



mehr vorhanden ist. 

 Es wird 



(p 1 a cos '{ —p 3 c cos a) 2 a sin 7 



tg2H» -ß] = 



p t a 1 sin 2 -(— p t a- cos 2 7 + p % c 1 sin 2 a— p s c 1 cos 2 a—p a b' 2 



cos a cos 7 — cos a cos 7 



a sin ß sin 7 — b cos a cos 7 4- b cos a cos 7 — ß sin ß sin 7 







~ä"' 



womit die Richtigkeit der früher eimittelten Gewichte erwiesen ist. 



Anderseits erkennt man aus (37, 38 und 39 ebenso aus dem Verhältnis 



cosa cos ß cos 7 ,,„ 



Pi'-p 2 '-Ps = ~ ~ '■ : — cot a : cot ß : cot f ' ( ^ 



a b c 



daß für Dreiecke, in denen ein Winkel 90° überschreitet, ein Fehlerkreis wegen des Auftretens negativer 

 Gewichte nicht mehr realisierbar ist. 



Zum Vergleiche zwischen dem Flächeninhalte des Fehlerkreises und dem der Fehlerellipse setzen 

 wir p v p,, und p s in R 2 (31 ein und erhalten: 



R2 _ w 2 (a cos a. + b cos ß + c cos 7) , + &2 + 



4 P sin 2 a (ia cos ß cos 7 + b cos a cos 7 + c cos a cos ß) 



(«• + ft. + c«) = ^ ■ (41. 



2 P sin 2 a 2 



Es war aber 



il* = — {M+s/W—M*) 

 B*= — (M- s/W-M' 2 ) 



also 



A 2 + fi ä M* 



2 2 



Da nun i? 2 = — > — = — > AB ist, so folgt: der Flächeninhalt des Fehlerkreises R°-iz ist 



2 2 2 



stets größer als jener der Fehlerellipse ABk; nur für das gleichseitige Dreieck ist R 2 % = ABn. 



Zur Übersicht und etwaigen Verwendung wurden im Nachfolgenden zusammengestellt für 

 a ~ 10000 m, m = 10", P~ 100 und -ji = 90° : 



1. Für die Fehlerellipse: A, B, @ A =ty — ty = 90 — ty und ABk; 



2. für den Fehlerkreis: R und R 2 r.. 



