Gewicht sverteilnng bei trigonometrischen Punktbestimmungen. 163 



und nach Substitution von p., aus der Nebenbedingung 



P = P-Pi-P 2 



P 



M 2 = ä 2 m 2 — (86 



p 1 p 2 (sin' 2 Y — sin 2 ß — sin' 2 a)— p 2 sin 2 ß — p\ sin 2 a+p 1 P sin 2 ß + p 2 Psin 2 a 



Differentiert man M' 2 nach p 2 und p 3 , setzt die Differentialquotienten gleich und beachtet, daß 



sin 2 •( — sin 2 ß — sin 2 a — 2 sin a sin ß cos 7, 



dann erhält man aus den Gleichungen 



2 p 2 sin a cos 7 + P s\n $ —2 p x sin ß = 



2 /7j sin ß cos 7 + P sin a —2p 2 sin a = 



sofort 



P cos a P cos ß , , . P cos 7 



/>, = -- , p., = - — ! — und hieraus p 3 = - — , (8/ 



2 sin ß sin 7 2 sin a sin 7 2 sin a sin ß 



oder in Verhältnisform überraschend einfach: 



Pi : p„ : p., = sin 2 a, : sin 2 ß : sin 2 7. 

 So wäre beispielsweise für <x= 180°, ß = 7 = 90° zunächst 



P 

 j\ = — und, wenn man a =1 360 — 2 ß einsetzt, 



P cot ß P P 



2 sin 2ß 4 sin 2 ß ' 4 '~ jP ' 3 ' 



das heißt, die Hälfte der Beobachtungsarbeit ist auf die Festlegung jenes Strahles zu verwenden, welcher 

 die beiden anderen unter 90° trifft, ein Ergebnis, welches auch der Anschauung vollkommen entspricht. 



II. Spezialfall : a = ß — 7 = 120°. 



An Stelle des allgemeinen Ausdruckes (84 tritt 



M , = 4m^ Pl b 2 c 2 +p 2 a 2 c 2 +p 3 a 2 b 2 

 3 P x P 2 c 2 + Pi Pi b 2 + P-i P-i ä l 

 und nach Substitution p s = P—p l — p 2 



Mi _ 4 M * 2 Px b2 (c 2 — a 2 ) + P>« 2 (c 2 -b 2 ) + Pa 2 & 2 _ 4 m°- Z 



3 A P 2 (c 2 - a 2 - b 2 ) -p\ V 2 —p\ a 2 + Pl PV 2 + p 2 Pa 2 ~ 3 N 



Zur Bestimmung des Minimums differentieren wir: 



0M 2 4« ! 1 f ) 



= <W(c 2 -ß 2 )-Z(p 2 [c 2 -a 2 -Z> 2 ]-2^& 2 +P& 2 )l=0 (91 



8/>i 3 A' 2 \ 2 / 



M 2 4t»- 1 I 1 



— J Na 2 (c 2 -b 2 ) - Z (p, [c 2 - a 2 - b 2 ] -2p,a 2 + Pa 2 ) \ = (92 



8p 2 3 N 2 \ J 



und finden hieraus 



_ Pi b* (c 2 [c 2 -b 2 ] + a 2 [a 2 ~b 2 ]) + Pa 2 b 2 (b 2 -a 2 ) 

 V - ~ a 2 (b 2 [b 2 - a 2 ] + c 2 [c 2 - a a ]) 



'22* 



