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Setzt man diesen Wert in Gleichung (91 ein, dann folgt nach einigen Reduktionen die quadratische 

 Gleichung: 



p\A + Pl Pa 2 B + P 2 a' C — (94 



worin bedeuten : 



A — a s - 3 a e b 2 - 3 a c c 2 +4a 4 b* + a* b 2 c 2 + 4a i <; 4 - 3 a 2 b 6 + a°- b l c 2 + a 2 b 2 c 4 - 3 a 2 c r > Sb 2 c c ' 



+ 4 b k c* - 3 b 6 c 2 + b* + c*, 

 B =-2fl«+ 5 a 1 !;- + o ^ c 2 - 4 a 2 b l -4 a 2 c^-b 2 ^-Mc 2 + V> +c e , 

 0—^—2 a 2 b 2 - 2 a 2 c 2 + b 2 c 2 + 6 4 + r>. 



Die Auflösung obiger Gleichung führt zu einem Wurzelausdruck von der Form: 



W— 3 ß* {- f 12 + 2 & 2 c- llJ + 4 a 2 J 10 - 6 a 4 c 8 -3J 4 c 8 + 4j c c 6 + 4 Z> fi c- G + 4 a 2 6 4 c 6 - 8 a 4 Z? 2 c G + 

 + 4 a 2 b* c 4 + 8 a 6 b 2 c* - 8 a 1 Z> 4 c 4 - a s ^ - 3 ¥ c 4 + 2 £ 10 c 2 - 2 a* b 2 c 2 + 8 a 6 b* c 2 - 

 -8fl 4 6 6 c 2 + 4 a 2 & 10 - 6 a 4 ö 8 + 4 a e b R ~a» b^-b 12 }, (95 



dessen direkte Auswertung unmöglich ist. Nach mehrfachen Versuchen wurde indes festgestellt, daß W 

 aus drei Faktoren besteht, nämlich 



W= 3 a 4 (—a i —b i -c i + 2 ö 2 Z> 2 + 2 ö 2 c a + 2 b 2 c 2 ) (c 4 + & 4 -a 2 c*—a 2 Vf. 



Um zu einem praktisch brauchbaren Resultat zu gelangen, konstruiert man aus den Strahlen a, b 

 und c ein Dreieck, dessen Winkel mit /, ']» und tp bezeichnet werden sollen. Dann stellt aber 



Fig. 5. 



_ a 4_ & 4_ c i + 2 fl 2^+2 « 2 c- 2 + 2 & 2 c 2 = (2 &c sin yj) 2 = (2 flf sin <j/) 2 = (2 a& sin rp) 2 



= (4F) 2 



das Quadrat des vierfachen Flächeninhaltes dieses Dreieckes vor; somit wird 



± \/W =±a 2 4F \J3 (c 4 + b l - a 2 c 2 - a 2 b 2 ). 



Der Umstand, daß in dem Ausdrucke W der Flächeninhalt des erwähnten Hilfsdreieckes enthalten 

 war, macht das Auftreten des gleichen Faktors in A und B einigermaßen wahrscheinlich. 



Tatsächlich findet man: 



A — (-a-L-M-c* + 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 ) (-o*-& 4 -c 4 + a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 



— (4F) 2 (-a- l -b l -c> + a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 

 und 



B — ( - a 4 - b* - c 4 + 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 ) (2 a 2 - b 2 - c 2 ) = (4 F) 2 (2 a 2 - V 1 - c 2 ). 



Mit Berücksichtigung der eben angeführten Zerlegungen erhält man aus Gleichung (94 



_ pai (4 Ff (b 2 + c 2 -2a 2 ) ±4F\ß (b* + c*-a* c 2 ~b 2 c 2 ) 

 1 2 (4 Ff (-a' i -b i -c i + a 2 b 2 + a i c 2 + b 2 c 2 ) 



und, da dem Minimum das —Zeichen entspricht, wird 



= Pai 4F(2a 2 - b 2 - c 2 ) + y/3 (& 4 + g 4 - a 2 c 2 - ^ 2 c 2 ) (96 



' 8F(a i + b l + c 4 - a 2 b 2 - a 2 c 2 - b 2 c 2 ) 



