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Das größte Gewicht erhält jener Strahl, dem im erwähnten Hilfsdreieck ein Winkel von 60° gegen- 

 überliegt oder, wenn ein solcher nicht vorhanden ist, jener Strahl, dessen Gegenwinkel am wenigsten 

 von 60° abweicht; denn das Produkt sin ^ sin (60 -+- y) erreicht sein »Maximum für ■% = 60°. 



Anderseits erkennt man aus (102, daß ein Strahl überhaupt nicht mehr zu beobachten ist, wenn 

 demselben — im Dreieck — ein Winkel zwischen 120° und 180° entspricht, gleiches gilt begreiflicher- 

 weise von einem Strahl, welcher größer ist als die Summe der beiden anderen und insofern die Kon- 

 struktion des Hilfsdreieckes unmöglich macht. 



Will man schließlich das Minimum von M' selbst berechnen, so hat man die Werte von p v p 2 und 

 p 3 in Gleichung (89 einzuführen und findet mit Beachtung der Relation 



cot •/ cot <|) + cot ~i cot cp + cot <Ji cot tp r= 1 

 j\p— A^_ [a? + & + c'- + 2\/3 bc sin x ), (103 



ö JT 



demnach fast völlig übereinstimmend mit dem in Gleichung (19 angeführten mittleren Punktfehler für das 

 einzelne Dreieck. 



In Fortsetzung des obigen Beispieles (a = 30 km,b = 40 km, c = 50 km) wäre bei P= 100, in = 7" 



M— 37 -88 cm 



und bei gleichmäßiger Arbeitsverteilung SR = 38 '03 cm; von einer nennenswerten Genauigkeitssteigerung 

 -- 0- \bcm — kann hier wohl nicht gesprochen werden. 



Hingegen erhalten wir bei a = 30 hm, b =. 40 lim, c = 100 km, wo also c > (a + b), als günstigste 

 Gewichtsverteilung im Sinne der Gleichungen 1 



*=*-*-:, p*= p —- h > M = /p?- 19n i a + b y- 



a + b a + b \/P sin 1 20 



p 1 = 57, /' 2 = 43 (p t = 0) 

 und 



M = 39 • 19 cm bei bester 



$R = 44-60 cm bei gleichmäßiger Gewichtsverteilung, demnach 



um 14% schlechter. Sollte indes bei dieser Art der Arbeitsverteilung die Genauigkeit des ersten Falles 

 erreicht werden, so wären hiezu 130 Beobachtungen statt 100 erforderlich. 



Das Endergebnis der vorhergehenden Betrachtungen könnte, wie folgt, zusammengefaßt werden: 

 Läßt sich aus den Strahlen a, b, c ein Dreieck konstruieren, in welchem kein Winkel 120° 

 überschreitet, dann liefern die günstigste und die gleichmäßige Gewichtsverteilung fast 

 gleichgenaue Resultate; tritt aber in dem bezeichneten Dreieck ein Winkel von über 120° 

 auf, oder läßt sich das Dreieck überhaupt nicht konstruieren, dann entfällt die Beob- 

 achtung des längsten Strahles, die Arbeit ist auf die beiden anderen Strahlen zu kon- 

 zentrieren. 



III. Allgemeiner Fall. 



Kehren wir nach Erledigung der Spezialfälle zur Hauptaufgabe zurück, also zur Funktion 



p t p 2 c°- sin 2 y + p 1 p., b" sin 2 ß + p 2 p 3 a? sin 2 a 

 Aus der Substitution 



Sitzungsberichte, Bd. 118, \\a >Die günstigste Gewichtsverteilung«, p. 144. 



