Gewichtsvevteihmg bei trigonometrischen Punktbestimmungen. 169 



daß in dem vorliegenden Ausdruck ein Faktor enthalten sein wird, welcher analog geformt 



wie 



- a ±— fr-ct+2 a 2 b 2 4- 2a? e- 4- 2 b'-e-. 



auf dessen Basis seinerzeit eine Zerlegung von (95 möglich war. Tatsächlich wurde nach einigen Ver- 

 suchen die Teilbarkeit von W durch das Polynom 



/i = (— a 4 sin 4 « — & 4 sin 4 ß-c 4 sin 4 7 + 2ß 2 & 2 sin 2 asin 2 ß + 2ß 2 c 2 sin 2 «sin 2 7 4- 2fc 2 c 2 sin' 2 ßsin^c 4 (112 



festgestellt und hiebei als Quotient erhalten: = 



-« 4 sin 8 a. {a? — Vf -Z4 sin 8 ß (& 2 — a 2 ) 2 -sin 8 7 (2 ü 2 b 2 -a 2 c 2 -b 2 c-> 2 



-2 a 2 sin c a sin 2 ß (— a G 4- fl 4 /> 2 4- a 2 Z> 4 -Z> e )-2a 2 sin ,; a sin 2 7 (-ß c + 4a 1 Z> 2 — a 4 c 2 — 3a 2 Z> 4 4- Z'V-'i 



— sin 4 a sin 4 ß (a 8 + 2 a 6 b 2 -6 a i b i +2a 2 b G 4- Z> 8 ) 



-2 sin 4 a sin 2 ß sin 2 7 ( — « 8 + 2a V 2 - 3 a ' Z> 4 + atb-c 9 - 4- 4a 2 i° - 2a 2 b'e- - & G c 2 ) 



-sin 4 «sin 4 7 (a 8 -10a G Z> 2 + 4a G c 2 4- 13a 4 Z4- 4fl 4 JV 2 4- a 4 c 4 -8 a'-Wc 2 + 2a 2 b 2 c i + &±c*) 



- 2 sin 2 a sin G 7 (2 a G & 2 - a G c 2 - 6 a 4 Zr 1 + 4 a 4 Z? 2 c 2 - a 4 c 4 4- 5 a 2 Z4 c 2 - 2 c/' Z? 2 1 4 - bK^) 



-2Z> 2 sin 2 asin G ß (-a G 4- ß 4 & 2 4- a 2 Z> 4 -Z> G ) 



-2 sin 2 a sin 4 ß sin 2 7 (4 a G & 2 -a G c 2 -3 a 4 Z> 4 -2 a±b 2 c 2 + a 2 b i c 2 4- 2 b n c 2 - b») 



- 2 sin 2 « sin 2 ß sin 1 7 (-5 a G ib 2 4- 2 a fi c 2 + 6 rf 4 Z> 4 4- 2 a 4 Z>V 2 - a 4 <; 4 - 5a 2 Z>« 4- 2a 2 b±c 2 - 2a 2 Z> 2 c 4 - fc 4 ^ 



4- 2fc G c 2 ) 

 -2 sin 2 ß sin G 7 (2 a 2 & G - & G c 3 - 6 a 4 Z> 4 4- 4 a 2 /3 4 c 2 - Zr^ 4 4- 5 a 4 & 2 c 2 - 2 a 2 Z> 2 c 4 - a 4 c 4 ) 

 - sin 4 ß sin 4 7 (/>* - [0a 2 b e + 4b' ] c 2 4- 13 a+b* - 4a 2 b*e 2 4- Mr 4 - 8a 4 &V 2 4- 2a 2 /j 2 c 4 4- aM) 

 -2/> 2 sin t; ßsin 2 7 (-Z>«-Z4 t -- 4- 4ö 2 Z> 4 - 3<z 4 Z> 2 + ß 4 c 2 ). 



Letzterer Ausdruck gestattet noch eine weitere Transformation; wie man sich leicht überzeugen 

 kann, ist es möglich, denselben in folgende zwei Faktoren zu zerlegen: 



ö =/,■/, 



f 2 = — sin 4 « — sin 4 ß — sin 4 7 4-2 sin 2 a sin 2 ß 4- 2 sin 2 « sin 2 7 + 2 sin 2 ß sin 2 7, (113 



/ s = ( a 2 sin 2 a ja 2 - Z> 2 ] 4- Z> 2 sin 2 ß [b 2 - a 2 ] 4- sin 2 7 [2 a 2 b 2 - a 2 c 2 - b 2 c 2 ]) 2 . (114 



Es wäre hiemit der Ausdruck Win die drei Faktoren (112, (113, (114 aufgelöst. 

 Um noch eine einfachere Formulierung der Gewichte p v p 2 , p s zu erlangen, wird es notwendig, ähn- 

 lich dem beim zweiten Spezialfall beobachteten Vorgang aus den Seiten a sin «, b sin ß, c sin 7 ein Drei- 



Fig. 6. 



eck zu konstruieren, dessen Winkel wir mit y v <b x und tp 1 benennen wollen. Dann läßt sich der erste Faktor 

 (112 durch das Quadrat des vierfachen Flächeninhaltes dieses neuen Hilfsdreieckes (Fig. 6) ersetzen also 



f t = (2 ab sin a sin ß sin , s 1 ) 2 c i = (2 ac sin a sin 7 sin -j^) 3 «; 4 = (2 &c sin ß sin 7 sin Xi) äc4 > C 1 15 



während der zweite Faktor (113 durch 



f 2 = (2 sin a sin ß sin y) 2 (116 



ausgedrückt werden kann. 



Denkschriften der mathematisch-naturw. Kl. LXXXVI1I. Bd. 23 



