J 70 Dr. E. Helle b r a n d , 



Als Resultat der vorangehenden Untersuchung erhalten wir demnach: 



=t \/W ■=. ± c- .2 ab sin asin ß sin cp 1 .2 sin a sin ß sin *c (a 2 sin 2 a [a 2 — b 2 ] + b 2 sin' 2 ß [fc 2 — fl 2 ] + 



+ sin 2 7 [2 a 2 Z> 2 - a 2 c 2 - Z> 2 c 2 ]) . 



Anderseits ist es jetzt auf Grund der gewonnenen Anhaltspunkte leicht,, auch die Glieder A und B 

 der Gleichung (107 in Produktenform darzustellen. Man findet 



A = (2 ab sin a sin ß sin ?1 ) 2 (sin 2 a [a 2 -b 2 ] [a 2 -c 2 ] + sin 2 ß [Z> 2 -a 2 ] [fc 2 -c 2 ] + sin 2 7 [c 2 — a 2 ] [c 2 -^ 2 ]), 



5 = c 2 (2 afc sin a sin ß sin tpj 2 (sin 2 a [a 2 — & 2 ] + sin 2 ß [b 2 -a 2 ] + sin 2 7 [a 2 + ö 2 — 2 c 2 ]) 



und hiemit 



p 3 = Pc 2 {sin y (a 2 sin 2 a [a ä -fe 3 ] + b 2 sin 2 ß [& 2 -ö 2 ] + sin 2 7 [2 a 2 Z> 2 - a"-c 2 -b 2 c 2 ]) 



-ab sinepj (sin 2 a[a 2 -Z> 2 ] + sin 2 ß [& 2 -a 2 ] + sin 2 T [a 2 + b 2 — 2c 2 ])}: (117 



{2 a& sin ?1 (sin 2 a [a s -&*] [a 2 -c 2 ] + sin 2 ß [& 2 -a 2 ] [£ 2 -c 2 ] + sin 2 v[c 2 -a 2 ] [c 2 -b 2 ])}. 



Aus der Substitution von p 3 in Gleichung (106 folgt ferner 



p 2 = Pb 2 {sin ß (a 2 sin 2 a [a 2 -c 2 ] + sin 2 ß [2 ß 2 c 2 -a 2 Z> 2 -Z> 2 c 2 ] + c 2 sin 2 7 [c 2 -a 2 ]) 



-ac sin ^ (sin 2 a [a 2 -c 2 ] + sin 2 ß [a 2 + c 2 -2b 2 ] + sin 2 7 [c 2 -a 2 ])}: (118 



{2 ac sin (l x (sin 2 a [a 2 -b 2 ] [a 2 —c 2 ] + sin 2 ß [b 2 -a 2 ] [b 2 —c 2 ] + sin 2 y [c 2 -a 2 ] [c 2 -Z> 2 ])} 

 und aus p 1 = P — p 2 — p 3 schließlich 



jp 1 = Pa 2 {sin a (sin 2 a [2& 2 c 2 — ß 2 & 2 -a 2 c 2 ] + Z> 2 sin 2 ß [& 2 — c 2 ] + c 2 sin 3 7 [c 2 —b 2 ]) 



—bc sin Xx (sin 2 a [£ 2 + c 2 - 2 ö 2 ] + sin 2 ß [& 2 — c 2 ] 4- sin 2 T [c 2 -b 2 ])}: (119 



{2 bc sin Xl (sin 2 a [ö 2 -& 2 ] [a 2 -c 2 ] + sin 2 ß [b 2 -a 2 ] [b 2 -c 2 ] + sin 2 T [c 2 — a 2 ) [c 2 -b 2 ])}. 



Trotz der im früheren bereits vorgenommenen Vereinfachung erscheinen alle diese Ausdrücke noch 

 immer zu schwerfällig; sie gestatten aber eine weitere zweckentsprechende Transformation, wenn man 

 auf das aus a sin a, b sin ß und c sin 7 konstruierte Dreieck zurückgreift. 



Das erste Glied im Zähler von p s gibt mit 



c"- sin 2 7 — a 2 sin 2 a + b 2 sin 2 ß — 2 ab sin a sin ß cos tOj. - 



a 2 sin 2 a (a 2 — Z> 2 ) + &' 2 sin 2 ß (b 2 — a 2 ) + 2 ab sin a sin ß cos ^ (a 2 + b 2 ) + 2 a 2 b 2 sin 2 7 



-a 2 sin 2 a (a 2 + b 2 ) - b 2 sin 2 ß (a 2 + b 2 ) 



= — 2 a 2 & 2 (sin 2 a 4- sin 2 ß — sin 2 7) + 2 a& sin a sin ß cos <p x (a 2 + & 2 ) 



z= 4 a 2 & 2 sin a sin ß cos 7 + 2aJ sin a sin ß cos <pj (a 2 4- Z? 2 ), 



ähnlich das zweite Glied: 



(a 2 + b 2 ) ( — sin 2 a — sin 2 ß 4- sin 2 7) 4- 4 ab sin a sin ß cos Xl 



= 2 (<z 2 4- & 2 ) sin a sin ß cos y 4- 4 a& sin a sin ß cos -fa. 



Werden beide Glieder mit ihren zugehörigen Faktoren sin 7 beziehungsweise — ab sin cp t und Pc 2 

 multipliziert, dann gehen sie über in: 



Pr 2 .2 ab sin a sin ß {a& (sin 2 7 — sin 2 tpj 4- (a 2 4- fc 2 ) sin [7 — cpj} 

 = Pc 2 .2 ab sin a sin ß sin (7— <p x ) {a 2 + i- + 2a* cos (7 + cpj}. (120 



