172 Dr. E. Hellebrand, 



flsin 2 asin [a— xJ _ & sin 3 ß sin [ß — (pj _ csin 2 7 sin [7 — tpj 



p, : p„ : p.. = - 



&- + c 2 + 2 frc cos [a — Xil a '~ + c 2 + 2 ac cos [ß— <J)J a- + & 2 + 2 ab cos [7— tpj 



(126 

 womit die einleitend gestellte Aufgabe ihrem Wesen nach als gelöst zu betrachten wäre. 



Zur Überprüfung der Ausdrücke p v p 2 , p 3 nach (123, (124, (125 soll noch eine kurze Untersuchung 

 beigefügt werden. Auf Grund der Substitutionen a= ß = y =z 120° ferner a = b= c müssen sich obige 

 Gewichtswerte auf jene Größen reduzieren, welche seinerzeit bei Behandlung der zwei Spezialfälle auf 

 direktem Wege hergeleitet worden waren. 



Betrachten wir den ersten Fall: a = ß = 7 = 120°. 



Es ist also sin a = sin ß = sin 7 und an Stelle des Hilfsdreieckes a sin a., b sin ß, c sin y mit den 

 Winkeln y a , <b v (d ± tritt jenes mit den Seiten a, b, c und den Winkeln y, <b, id., daher 



Pa' 2 v/3~ cos y + sin y 

 Pi=- zr ■ 



2 sin y (b 2 + c' 2 — bc cos y + \/3 bc sin yj 



_ p _ Q 2 (sin X + S/3 cos x) 



sin x (a 2 + 6 8 + c 2 + 2\/3 Z?c sin X ) 

 identisch mit (99. 



Gleiches gilt von p 2 und p 3 . 



Für die Spezialisierung a — b = c muß zunächst eine Relation zwischen den gegebenen Winkeln 

 et, ß, y und Xi> 4*1 Ti aufgestellt werden. 

 Die oft verwendete Gleichung 



a 2 sin'' a = b' 1 sin- ß + c 2 sin 2 7 — 2 fcc sin ß sin 7 cos Xi 



vereinfacht sich wegen a = & = c zu 



sin 2 a = sin 2 ß + sin 2 7 — 2 sin ß sin 7 cos y x 

 und tritt in Parallele mit der aus a + ß + 7 — 360° folgenden Gleichung 



sin 2 a = sin 2 ß + sin 2 7 + 2 sin ß sin 7 cos a. 



Es ist also 

 ebenso 



oder 

 demnach 



cos Xj = — cos a. 



cos <b 1 = —cos ß 



cos tp x = —cos 7 



Xl =180-a, 

 ^ = 180— ß, 



?! = I8O-7 



a 2 sin 2 a sin (180+ 2 a) 



sin ß sin 7 sin a (2. a 2 + 2 a 2 cos [180 + 2 a]) 

 sin a sin 2 a 



2 sin ß sin 7(1— cos 2 a) 

 P cos a 



2 sin ß sin 7 

 in Übereinstimmung mit Gleichung (87. 



