Gewichtsverteilung bei trigonometrischen Pmtktbestimmungen. 173 



Zur Illustration der oben abgeleiteten Formeln sollen folgende zwei Beispiele dienen: 



/. 



a = 40 000 m, b—70 000 m, c = 60 000 m, 



a = 90°, ß=120°, 7=150°; 



aus dem Hilfsdreieck mit den Seiten a sin a, b sin ß, c sin 7 berechnen wir die Winkel: 



Xl = 35° 07' 24" 

 ([>! = 119° 18' 48" 

 tp! = 25° 33' 48" 



und finden nach den Gleichungen (123, (124 und (125 für P = 100: 



^ = 39-40 

 p,= 1-01 



^3 = 59-59, 



ferner bei m = 10" den zugehörigen mittleren Punktfehler M = 55 ■ 96 cm, während bei gleichmäßiger 



P \ 

 Gewichtsverteilung (p ± —p 2 =p s =- der Fehler Wc = 59-73 cm, also um 7% größer erhalten wird. 



Sieht man von der Messung des Strahles b, dessen Gewicht 1-01 gegenüber den anderen ohnehin 

 verschwindet, ganz ab und behandelt die Aufgabe wie ein gewöhnliches Vorwärtseinschneiden, dann 

 wird/',, =p x — 40, p c ~ p» = 60 und M a , c = 55- 98 cm, also noch immer kleiner als 2ft, wenn auch der 

 Unterschied zwischen diesen drei Fällen sehr gering ist. 



2. 



a — 4 000 m, b = 1 000 m, c = 2 000 m 



a=90°, ß=185°, 7 = 85°; 



ein Dreieck mit den Seiten a sin n., b sin ß, c sin 7 ist wegen des negativen Wertes von b sin ß unmöglich. 

 Es sind daher auch für die Gewichte keine reellen Werte zu erwarten, was die Rechnung bestätigt: 



p l = P( 0-917 71 —0-772 83 

 p^ — P{ 0-324 70+0-536 300 

 p 3 — P (-0-242 41 +0-236 53 



Da die günstigste Gewichtsverteilung nicht verwirklicht werden kann, tritt an Stelle des mehrfachen 

 Vorwärtseinschneidens das einfache, welches entweder aus a, b oder a, c und b, c vorgenommen werden 

 kann. Nun betragen aber die mittleren Punktfehler für diese drei Fälle: 



m (a + b) . . 



M a , b = — 7= = 6-81 cm, 



\JP sin y 



M ac = m }? + C) =33S8 cm, 



\yP sin ß 



,, m (b + c) _ on 



M b> c = — p= — = 5-82 ot, 



y/P sin a 



hingegen bei gleichmäßiger Arbeitsverteilung ffl = 8 -38 c«. 



Denkschriften der mathematisch-naturvv. Kl. LXXXII1. Bd. 24 



