vom 31. O daher 1861. 993 



Vermöge dieser Gleichungen kann man nun X,, A 2 aucn als 

 Functionen von u betrachten, und die Theorie, der Abel'schen 

 Transcendenten lehrt, dafs jeder aus A,, Kß(A,) und A 2 , V R(\ 2 ) 

 symmetrisch zusammengesetzte rationale Ausdruck den Charak- 

 ter einer rationalen Function von u besitzt. Insbesondere aber 

 sind 



a,a 2 , («-a,)(«-a 2 ), (/3-a,)(/3-a 2 ), ( y _A,)(y-* 2 ), 



(§-A,)(S-A 2 ) 

 die Quadrate solcher Functionen, und man kann daher, da man 



«(«-A.X tt-Ag) 2 __ ß(ß-X t )(ß-X 2 ) 

 7(7— *i) (7—^2) 



(*-/3)(«- 7 ) ' (/3-«.),(^^) 



(7~«) (7-/3) 

 hat, die Coordinaten x, j, z selbst in der Form 



F(«) J F(«) * | F(u) 



darstellen, wo F(u), F,(«), F 2 (u), F 3(") Functionen von « 

 sind, die den Charakter ganzer rationaler Functionen haben 

 und in beständig convergirende Reihen entwickelt werden kön- 

 nen. Ferner ergiebt sich 



* F(u) 

 wo F^(u) ebenso beschaffen ist wie die übrigen Functionen F. 

 Auf diese Weise können x, j t z, s als Functionen einer Hülfs- 

 gröfse ausgedrückt werden, in der Art, dafs man, wenn man 

 dieselbe alle reellen Werthe von — 00 bis -+• 00 in stetiger 

 Aufeinanderfolge durchlaufen läfst, alle Punkte der betrachteten 

 kürzesten Linie und die zugehörigen Werthe von s erhält. 



Beim Ellipsoid sind nach dem Vorhergehenden drei Fälle 

 zu unterscheiden, indem 



'B<ß, S>/3 und auch S-ß 



sein kann. Für den ersten mögen hier die vollständig ent- 

 wickelten Formeln mitgetheilt werden. 

 Man hat in diesem Falle 



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