1044 Gesainintsilzung 



gatum ex omnibus angulis planis unum angulum solidum fa- 

 cientibus minus est quam quatuor anguli recti plani ' ), designat 

 angulum externum solidum," 



Auf Grund dieser Stelle beweist Hr. Prouhet durch Nor- 

 malen aus einem Punkt zu den Flächen eines Polyeders, dafs 

 die Summe der Ecken, die zu den Ecken des Polyeders supple- 

 mentär sind, 8 Raumoctanten beträgt und dafs aus diesem Satz 

 die Grundgesetze über die Summe der Polygonwinkel eines Po- 

 lyeders und über den Zusammenbang der Anzahlen von Ecken, 

 Flächen und Kanten desselben ohne Umschweife sich ableiten 

 lassen. 



Man hat keinen hinreichenden Grund, anzunehmen, dafs 

 Descartes unter angulus solidus externus etwas anderes ver- 

 standen habe, als die Differenz von vier rechten Winkeln und 

 der Summe der Polygonwinkel, welche die Polyederecke ein- 

 schließen, wenn auch in der That die so definirte Aufsenecke 

 des Polyeders mit der vor Decartes bereits eingeführten sup- 

 plementären Ecke von gleicher Capacität ist. Man hat aber 

 auch keinen Grund den Zusammenhang des von Descartes 

 aufgestellten Satzes mit später entdeckten Sätzen aufserhalb des 

 Fragments aufzusuchen. Hr. Prouhet hat sich vielleicht durch 

 den schlimmen Zustand, in welchem der Text des Fragments 

 herausgegeben worden ist, abhalten lassen weiter zu lesen; 

 sonst könnte ihm nicht entgangen sein, dafs Decartes aller- 

 dings mit dem über hundert Jahre später 1752 von Euler ent- 

 deckten und nach Euler benannten Grundgesetz der Polyedro- 

 metrie vollständig vertraut gewesen ist. Die oben citirte Stelle 

 hat nämlich den Schlufssatz: 



„Si quatuor anguli plani recti 2 ) ducantur per numerum an- 

 gulorum solidorum, et ex producta tollantur octo anguli recti 

 plani, remanet aggregatum ex omnibus angulis planis, qui in 

 superficiebus corporis solidi existunt." 

 d. h. die Summe der Polygon winkel auf der Ober- 

 fläche eines Polyeders mit e Ecken beträgt 4e-8 

 rechte Winkel. Dieser Satz stimmt vollständig überein mit 



') Der Abdruck hat: recti planumque designat 

 *) Der Abdruck hat: plane rede . . . 



