28. November 1861. 1045 



von denen Euler sehr 

 wohl gewufst hat, dafs jeder als Grundlage des andern ange- 

 sehn werden könne. Nov. Comm. Petrop. IV p. 142: „ffaec 

 propositio ita cum praecedente (e ■+■ f '= k ■+■ 2) cohaeret , ut si 

 altera demonstrari posset, sirnul alterius demonstratio haberetur." 

 Etc. 



Die Fortsetzung des Fragments enthält ferner die Aufgabe 

 nebst Lösung: 



„Dato aggregato ex omnibus angulis planis et numero facie- 

 rum, numerum angulorum planorum invenire. Ducatur nu- 

 merus facierurn per 4, et productum addatur aggregato 3 ) ex 

 omnibus angulis planis, et totius media pars erit numerus an- 

 gulorum planorum. Sunt sernper duplo plures anguli plani in 

 superficie corporis solidi quam latera, unurn enim latus sern- 

 per commune est duabus faciebus." 

 d. h. bei einem Polyeder von e Ecken und/ Flächen 

 ist 4/-+-4e — 8 die 4fache Anzahl der Kanten (4&), über- 

 einstimmend mit dem ersten E u ler 'sehen Satz von den Anzah- 

 len der Flächen, Ecken und Kanten eines Polyeders. 



In dem Fragment finden sich auch folgende Determina- 

 tionen : 



„Sunt ad minimum triplo plures anguli plani quam solidi in 

 uno corpore. Si tollatur binarius ex numero angulorum soli- 

 dorum, qui in corpore aliquo continentur, et residuum. duca- 

 tur per binarium, fit maximus numerus facierurn. Si vero 

 dividatur numerus angulorum per binarium, — si quidem sit 

 numerus par; sin minus, Uli prius addenda erit unitas ut di- 

 vidi possit, — ac postea quotienti^) addatur binarius, fit nume- 

 rus minor facierurn." 

 d. h. 2&>3e, und « + 452/54«-8, wie Euler a. a. O. 

 p. 118 und 127 bewiesen hat. 



Der in dem vorliegenden Abdruck kaum lesbare Schlufs des 

 Fragments enthält die Construction von Polyedralzahlen, die sich 

 nicht nur auf die Platonischen, sondern auch auf Archimedeische 

 Polyeder beziehen. 



3 ) Der Abdruck hat: aggregatio. 



4 ) Der Abdruck hat: quoties si . . 



