SUL PROBLEMA ISOPER1METRICO 

 CON UN PUNTO TERMINALE MOBILE 



Siano 



NOTA 



DEL 



Prof. LEONIDA TONELLI 



letta nella Sessione del 28 Maggio 1923 



^e — J F (^ y> x '> y') ds e & e — j Ò(«, y, % y 



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due integrali curvilinei, cali che le funzioni. F e G soddisfino alle condizioni che solita- 

 mente si pongono per esse nel Calcolo delle Variazioni, e si vogliano stabilire le condi- 

 zioni sufficienti affinchè una data curva fi dia il numero relativo di 3q, fra tutte le 

 curve piane, continue e rettificabili, fi, che hanno il primo punto terminale mobile su 

 una data curva C, ed il secondo fisso in un dato punto P 2 , e che, di più, soddisfano alla 

 condizione 3q = W ', ove S 7 è un numero dato. Per ottenere le condizioni indicate, 

 A. Kneser (Lehrbuch der Variationsrechnung, Cap. IV) costruì, intorno alla curva fi , 

 un campo isoperimetrico — analogo a quello che aveva già dato W eierstrass, per 

 il caso del corrispondente problema con ambedue i punti terminali fissi — ottenuto con 

 le estremali, relative all'integrale della funzione F -(- XG, uscenti, trasversalmente 

 alla tE, dai punti di questa curva prossimi al primo punto terminale P i della fi . 



Per altro — come del resto avvertì lo stesso Kneser (') — la costruzione di questo 

 campo non conduce, in generale, a stabilire le condizioni sufficienti volute; essa permette 

 di risolvere la. questione soltanto in casi molto particolari. 



Scopo della presente Nota è di mostrare come, unendo, alla costruzione fatta dallo 

 Kneser, un'altra costruzione assai semplice, si possa risolvere la questione, più sopra 

 indicata, nella sua completa generalità. 



1. — Si tratta di dimostrare che : 



Se fi è una curva, a tangente variabile in modo continuo, aperta e priva di 



punti multipli, tutta interna al campo in cui sono definite le funzioni F e G, e se : 



a) esiste un numero X , tale che la fi sia un'estremale relativa all' integrale 



della funzione F+-X G, e soddisfi ovunque alla corrispondente condizione di Legendre, 



in senso stretto ; 



(!) Vedi anche 0. Bolza: Vorlesungen ùber Yarìationsrecìinung, pag. 523. 



