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b) la (3 è trasversale (ma non tangente), relativamente alla funzione F-h \ G 

 ad una curva E (avente tangente e curvatura variabili in modo continuo), nel sud 

 primo punto terminale P,, e P, non è punto terminale anche per la (E ; 



e) sulla <£ è verificata, in senso stretto, la condizione di Kneser per il pro- 

 blema isoperimetrico, con un punto te)-minale mobile sulla <Z ; 



la S è una minimante debole per 3q, fra tutte le curve continue e rettifica- 

 bili (2, che hanno il primo punto terminale sulla <I ed il secondo coincidente col 

 secondo punto terminale P 2 della (B , e che soddisfano alla condizione &Q=arQ . 



Se poi, alle condiziomi precedenti, si aggiunge quella di Weierstrass, relativa 

 all'integrale della funzione F-t-\ G, verificata su tutta la Q in senso stretto, allora 

 la <2 è una minimante forte per 3q, nel problema isoperimetrico già indicato. 



2. — Detta a la lunghezza dell'arco generico della 3!, contata a partire da un punto 

 qualsiasi di tale curva, distinto da P, , e indicato con a il valore di a corrispondente 

 a P, , consideriamo la famiglia delle estremali, relative all' integrale della funzione 

 F-hXG, per ogni valore di X vicino a X , uscenti dai punti della il prossimi a P,, 

 trasversalmente alla (E (trasversalità relativa all'integrale indicato), di lunghezza L\ 

 — con L\ maggiore della lunghezza L della <2 — e riducentisi per continuità, coi loro 

 primi archi di lunghezza L , alla (B , quando a e X tendono, rispettivamente, a o o el , 

 Le equazioni paramediche della estremale <£ 3 ^ generica della famiglia, quando si assuma, 

 come parametro, la lunghezza / dell'arco della (£ ^, a partire dal suo primo punto 

 terminale, possono scriversi 



(1) x = <?{t,a,\), y = W,a,\), (0, L'„), 



con a e \ variabili, rispettivamente, negli intervalli (o — z, a -+- s) e (X — e, X -f- e). E 

 se supponiamo e sufficientemente piccolo ed L' sufficientemente vicino ad L , tutte le 

 estremali <£ a > risultano completamente interne al campo di definizione delle F e G, e 

 le funzioni ip e $ risultano continue insieme con tutte quelle loro derivate parziali che 

 ci occorrerà di considerare nel nostro ragionamento. Notiamo anche che la <£_ 5 con- 

 tiene, come arco parziale, la S , ed ha con essa in comune il primo punto terminale. 



Il determinante funzionale Mt, a, X) = , fe-, , dove è 



c(t, a, A) 



t 

 y(t, a, X) ssjgfrft, a, X), ftf, a, X), qp#, o, X), +,(«, a, \))dt, 

 o 



è, per a = a , X = X e < t < L , sempre diverso da zero, in virtù della condizione e); 

 e, pertanto, indicata con <E 3 x la curva dello spazio a tre dimensioni (re, y, z), definita 

 dalle equazioni 



(2) x = -f(t, a, X), y = #«, a, X), z = x(t, a, X), (0, L' ), 



la quale ha per proiezione, sul piano (x, y), la (£<, x , e preso un punto P qualunque 

 della S , distinto da P ( , esiste sempre un intorno non nullo ilei inulto P della @ (curva 



