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analoga della (£ x ) che ha P per proiezione, sul piano (x, y), per ciascun punto (x, y, z) 

 del quale intorno le equazioni (2) ammettono sempre una ed una sola soluzione t, a e X, 

 riducentesi per continuità alla terna corrispondente a P. Ne viene, allora, che è possibile 

 di determinare un punto Q della S„, distinto da P t , e due numeri positivi, p, e p 2 , con 

 p 2 <p,, in modo che, per ogni punto Q', del piano (x,y), appartenente all'intorno (p 2 ) 

 di Q, e per ogni numero z', diverso da efg (p ( n) = X(^> a , X ) — se t è la lunghezza 

 di (2 (P,, Q) — per meno di p 2 , esista sempre una ed una sola estremale <E a - x », tale che 

 la sua parte (E' a > x'> c ^ e termina in Q', appartenga all'intorno (pj 8 della (B a (P l7 Q) (*), 

 soddisfi alla condizione ^^ = 2', e fornisca il minimo per l'integrale della funzione 

 F-hX'G, fra tutte le curve, continue e rettificabili, <&', aventi il primp punto terminale 

 sulla C ed il secondo in Q', e apppartenenti all'intorno (pj) 2 di S (P, , Q), vale a dire, 

 soddisfi alla disuguaglianza 



(3) ÙF+l'G)ds < f( J P+ X'G)ds. 



Ciò è conseguenza di quanto si è detto fino ad ora e della condizione a). 

 Se la Q,', oltre a soddisfare alle condizioni già indicate, verifica pure 1' uguaglianza 

 Wq, = §r<g/ , ,, dalla (3) segue 3^ G , ,,< Sq*. 



Osserviamo ora che, se il numero p 2 è sufficientemente piccolo, la disuguaglianza 

 A(/, a , X )=}=0, che è verificata per ogni t corrispondente all'arco G .(Q, -P 2 ), assicura la 

 possibilità di determinare, e in modo unico, per ogni punto ili dell' intorno (p 2 ) della 

 curva (B (Q, P 2 ), una <£ a ; passante per M, vale a dire, di risolvere, in modo unico, le 

 equazioni (2), rispetto a t, a e X, e in maniera che le funzioni t(z, y, z), a(x, y, z) e X(x, y, z), 

 che così si ottengono, risultino finite e continue insieme con le loro derivate parziali del 

 primo ordine. 



3. — Dopo queste premesse, consideriamo una curva continua e rettificabile (E, 

 definita dalle equazioni (s essendo la lunghezza dell'arco ed L quella totale della curva) 



(4) x = x(s), y = y(s), (0, L), 



avente il suo primo punto terminale sulla C ed il secondo in P 2 , appartenente all'in- 

 torno (p 3 ) 2 della S e soddisfacente alla condizione §q = 3q . 



Supponiamo il numero p 3 minore di p 2 e tale che la curva £, definita dalle equazioni 



s 



z = x(s), y = y{s), z = g(*) == j G(x{s), y(x), x'{s), ?/,'(.v))^, (0, L), 

 risulti sempre appartenente all'intorno (p 2 :2) della <S ( 2 ), e che, se l'arco Q{Ii', S'), della S, 



(') Ciò significa che si può stabilire una corrispondenza biunivoca, ordinata e continua, fra la <£' a ' ^/ e 

 la & (P Ì ,Q), in modo che, per ogni coppia di punti corrispondenti, la distanza fra i punti e l'angolo delle 

 tangenti alle due curve risultino entrambi minori di p,. 



^ z ) Ciò vuol dire che ogni punto della Q dista da almeno un punto della (g per meno di p 2 ;2. 



