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appartiene all'intorno (p 3 ) 2 di un arco S„(#, S), della <2 , <2(A V , ò") risulti anch'esso appar- 

 tenente all' intorno (p,:2) di <2 (ff, S). 



Scegliamo, sulla (?, un punto Q' in modo che la parte (2' della curva che termina 

 in Q' e la parte rimanente Q(Q', P t ) appartengano, rispetti- 

 vamente, agli intorni (p 3 ) 2 di G (P,, 0) e <B (Q, P 2 ). Il punto & 

 appartiene certamente all' intorno (p 5 ) di Q, e, per quanto 

 sopra si è detto, possiamo determinare l'estremale <£ 3 - ^<, che 

 ora indicheremo semplicemente con »£', soddisfacente alle 



Consideriamo poi un punto M qualunque di i2(Q', P 2 ), 

 e indichiamo con s la lunghezza della parte della (£ che 

 termina in M, parte che rappresenteremo con Q t . Per quello che abbiamo già detto, per 

 il punto M della (5 — punto che appartiene all'intorno (p 2 :2) di <2. (Q, Pj — passa una 

 ed una sola curva <E a x , e, indicando con <£, la parte dell'estremale <£ 3 \ che termina 

 in M, abbiamo 3^ = §\? s . 



Abbiamo, inoltre, se s' è il valore di s corrispondente a Q', 





ossia, poiché, per quanto precede, è £ L s<2 , 



3tf-IU=(SF P ,-r3 



c'(E' 





e, per la 9 € , <3 e -, 



»e -*«, 2» Jfc «*&-»*>*> 



valendo qui il segno = soltanto se è S' = <£'. 



Ora, tenendo conto della && i = 9q s , e indicando con X s il valore di X corrispondente, 

 mediante le (2), al punto M, otteniamo e>g s — c\ s == 0Q a -+- ^^g,) — (?<£ s + ^.^e,)» e quindi, 

 in quasi-tutto (s', L), — {3 &s — £g f ) = '&(*(*), «/(*) ; ?>,, <J> ( ;«'(*), ^(s); X,), donde 



(5) 0@ — ? eo > j £(«(*), y(.v) ; <p t , <|>« ; *'(*), y'(«) ; *,¥*, 



valendo qui il segno = soltanto se è (2' = <£'. 



Se il numero p 3 è sufficientemente piccolo, la condizione di Legendre, supposta 

 verificata, in senso stretto, su tutta la (E e relativamente all' integrale della funzione 

 F -+- X G, porta che sia, in quasi-tutto (s', L), &(z(s), y(x); y tì '\> t ; x'(s), y'(s); >. s )]>0, il 



(') Qui vale il segno = soltanto se ì' (2'-=i£'. 



i'-'i È facile mostrare che 9g — 3<c è, in (»', L), una funzione assolutamente continua. 



