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segno = valendo soltanto se è <p t = x'(s) e ty t = j/'(s). Se ne conclude che, per p 3 suffi- 

 cientemente piccolo, è 3q > 3q , e, più precisamente, U@>eJ@ , se non è 2 = (S . Con 

 ciò è dimostrato il teorema enunciato, per quanto riguarda il minimo debole. 



4. — Passiamo ora al minimo forte. 



In virtù di proposizioni note (*), possiamo determinare due numeri positivi 5ep (l 

 in modo che, se S è una qualsiasi curva, continua e rettificabile, avente per rappresen- 

 tazione parametrica le (4), avente il primo punto terminale "sulla ti ed il secondo in P 2 , 

 appartenente all'intorno (p 4 ) della (3 e soddisfacente alla disuguaglianza \L — L \ < 6, 



si abbia, per ogni s di (0, L), 



^-^oEl 



< i P% . dove e 



è- 



indica l'arco della (E„ 



che ha il suo primo punto in P { e lunghezza uguale a L s:L. Abbiamo pure che, per le 

 condizioni di Legendre e di Weier Strass dell'enunciato del nostro teorema, il 

 punto Q ed i numeri p £ e p 2 , considerati al n.° 2, possono scegliersi in modo che le disu- 

 guaglianze (3) e 3<at , , < 3/3/ risultino verificate per tutte le curve (£', soddisfacenti alle 

 condizioni già indicate al n.° 2, anche quando, in tali condizioni, l'intorno (pj 2 si sosti- 

 tuisca semplicemente con quello (p,), purché la differenza fra la lunghezza della <2' e 

 quella della (5 (P 1 , Q) sia sufficientemente piccola. Ne viene, pertanto, che, se i numeri 

 8 e p 4 li scegliamo convenientemente piccoli, su ogni curva (3, continua e rettificabile, 

 avente il primo punto terminale sulla tE ed il secondo in P 2 , appartenente all'intorno (p 4 ) 

 della (£„ e soddisfacente alla ^g = &q e alla disuguaglianza \L — L | < 5, potremo fissare 

 un punto Q, in modo che, per la parte <2' della £, che termina in Q', valgano le S^, = éFg, 

 3<g' < 3(2', e che, per la parte rimanente Q(Q', P,), la Q.(Q', P 2 ) appartenga all'intorno (p 2 :2) 

 di <B (Q, P,), e quindi che, per ogni punto di S(<2', P 2 ), valga la § r <g s =§ r e s . Allora varrà 

 anche la (5), e, per le condizioni di Legendre e di Weierstrass, poste nell'enunciato, 

 sarà, per p 4 sufficientemente piccolo, in ogni punto della (2, &(x(s), y(s) ; <p t , <\> t ; x'(s), y'(s); 

 ^s) > (quando non sia cp t = x'(s), <\> t = y'(s)), e quindi Sq > cfg , se non è (E = (5 . 



D'altra parte, un noto teorema ( 2 ) e la condizione di Weierstrass già ricordata, 

 ci danno, in corrispondenza del numero 5, già fissato, un numero positivo p 5 , tale che, 

 per ogni curva (E, continua e rettificabile, avente il primo punto terminale sulla tE ed il 

 secondo in P 2 , appartenente all'intorno (p 5 ) della (5 e soddisfacente alla disuguaglianza 



\L — L \>8, sia \(F-\-X G)ds > i(F-t- A G)<is; e da questa disuguaglianza, se si sup- 



pone, inoltre, che sia &q = &q , si deduce 3q > cf@ . Con ciò il teorema enunciato risulta 

 dimostrato anche per quanto riguarda il minimo forte. 



(*) Cfr. L. Tonelli, Fondamenti di Calcolo delle Variazioni, voi. I, n.i 114 e 123. 

 ( 2 ) Cfr. loe. eit., n.i 120 e 123. 



