SULLA TRASFORMAZIONE 



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SUPERFICIE COI U SISTEMA DI ASINTOTICHE A TORSIONE COSTANTE 



NEGLI SPAZI DI CURVATURA COSTANTE 



NOTA 



DEL 



Prof. AMILCARE RAZZABONI 



letta nella Sessione del 28 Aprile 1918. 



In una Memoria del prof. Bianchi avente [ter titolo: Sopra alcune classi di con- 

 gruenze rettilinee negli spazi di curvatura costante (Annali di Matematica, Serie III, 

 Tomo X, 1904) fra le altre questioni, trovasi posta e risoluta, ed anzi in modo più 

 generale, quella che forma l'oggetto della presente Nota. Per l'interesse che presenta 

 tale problema, ho pensato di risolverlo in modo diretto e più elementare, utilizzando 

 all'uopo una trasformazione da me data, alcuni anni or sono sulle curve a torsione 

 costante (Rendiconto delle Sessioni di quest'Accademia, anno 1908-1909), la quale, 

 opportunamente generalizzata, permette di raggiungere facilmente lo scopo. 



Vediamo anzitutto in che consista l'accennata generalizzazione, sulla quale, come 

 ho detto, si fonda in gran parte la risoluzione del nostro problema. 



Per questo, supposto di avere una curva C a torsione costante -, si conduca per 



T 



ogni punto M di essa e nel suo piano osculatore un segmento MM ] eguale a una 

 costante qualunque a (in generale diversa da r) ed inclinato sulla tangente- in M di 

 un angolo 6 da determinarsi come funzione dell'arco s della curva. Nell'ipotesi p. os. 

 dello spazio ellittico, di cui supporremo per semplicità = -+- 1 la curvatura, se indi- 

 chiamo con .v () , .r p x 2 , a? 3 le coordinate di Weierstrass del punto M, soddisfacenti 

 perciò l'identità 2,-.r'-=l, e se indichiamo con x\ quelle del punto M' , avremo per 

 la curva luogo dei punti M' le equazioni : 



(i: 



v\ = x'icosa -+- (£,-cos# -4- t?jsenO)sen<j 

 (i = 0, 1, 2, 3) 



nelle quali abbiamo rappresentati con £,-, ^ rispettivamente i coseni direttori della 

 tangente e della normale principale alla C. 



