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Ragionando ed operando come nella Nota predetta, ponendo cioè la condizione che 

 le curve si corrispondano per eguaglianza d'archi, troveremo rer l'equazione differenziale 



dt) 1 



(2 — = H AsenO, 



ds p 



ove 



(a) 4 = cota-H-\/ — = 



V sen 



1 

 T 2 



e p è il raggio di flessione della C, come dedurremo nello stesso modo che, anche nel- 

 l'attuale ipotesi di o"=ì= t, [ter ogni soluzione 6 della (2), le (1) rappresentano una 



nuova curva C' della stessa torsione costante -- della primitiva. Sono queste le trasfor- 



t 



mate più generali delle curve a torsione costante alle quali sopra alludevo, cui più 

 propriamente conviene la denominazione di trasformate di Back 1 un d, e che indiche- 

 remo con Z> 3 . 



Converrà ancora determinare i coseni direttori £• della tangente, quelli Y}\ della 

 normale principale e infine quelli £'• della bi normale alla curva trasformata, pei quali, 

 procedendo sempre come è indicato nella Nota più volte ricordata troveremo le forinole 



„ v „ on n n ^ Sena Se\\6 



t, ==.-- a? sena cosa -t- £(cosa — .-1 sena se ir (7) -f- ^Asenasenacosa — L, - 



(/?) < yf ■==. — sesenasena" -+- 1 • /isena sena* cosa* -+- t? (cosa — Asenacós 2 ^) -+- 4' 



sena cosa" 



T 



yi l. senasen^ sena cose/ «. * / sen 2 a 



; = — l ■ -+- »p - — u\/i — 



ove per semplicità abbiamo omessi gl'indici. 



È opportuno osservare che nel valore (a) di A che figura nella (2) abbiamo preso 

 il radicale col segno positivo ; se lo avessimo preso negativo, avremmo trovate le stesse 

 forinole di trasformazione ; giacche, cambiando 6 in n -+- 6 e a in — a, la (2) non 

 muta, come non mutano le (1); sicché si ottengono le stesse trasformate della curva, 

 come è anche geometricamente evidente. 



Premesso ciò, sia ora S una superficie con un sistema di asintotiche a torsione — 



T 



costante (che supponiamo però variabile da curva a curva); assumendole a linee coor- 

 dinate u = cost. e e prendendo per linee coordinate v = cost. c le loro traiettorie orto- 

 gonali, avremo, com'è ben noto, per l'elemento lineare della superficie l'espressione 



ds- — Edir -+- Gdv~. 



Immaginando di applicare a ciascuna asintotica del sistema una trasformazione B a , 

 ove qui a sarà una certa funzione di u, dovremo cercare di associare tra loro le infi- 

 nite trasformate ottenute in modo che, scegliendone una determinata tra quelle corri- 



