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s pò udenti ad un medesimo valore di (7, esse formino una superfìcie di cui le curve 

 stesse siano asintotiche. 



Intanto, se con X{ indichiamo le coordinate di un punto qualunque M di S e con cc t 

 quelle del punto corrispondente il/' nel senso ora spiegato, il luogo di questo punto M 

 sarà una superficie S' le cui equazioni saranno per le (1) 



(3) x\ = ccicosa -+- (£;Cos# -+- r^iSenO) seno" (1 = 0, 1, 2, 3) 



ove qui denota l'angolo (per ora incognito) che il segmento MM' } di ampiezza a, 

 condotto nel piano tangente in M alle S forma con V asintotica considerata, e le £,-, ^,- 

 sono i coseni direttori risp. e delle tangenti alle linee coordinate u e v nel punto M 

 di 5 ove esse s' incrociano. 



Volendo che la S' sia della medesima classe della S, dovranno le sue linee coor- 

 dinate u essere asintotiche della superfìcie, e perciò dovranno essere soddisfatte le due 

 equazioni di condizione 



„„, ox 1 „ '. oog 



(4) Z£'— = 0, 2C — = 0, 



oli or 



ove con t' abbiamo indicati i coseni direttori della binormale alle linee u di S. 



Ma prima di eseguire i calcoli relativi, osserveremo che, dovendo lungo ogni linea u 

 essere soddisfatta la (2), ed essendo nel nostro caso ds=i/Gdv, mentre si ha 



1 \ Ò\/G 



(5) 



P \/EG ou 



giacche la curvatura assoluta di un'asintotica coincide con la sua curvatura geodetica, 

 dovrà perciò soddisfare all'equazione alle derivate parziali 



(6) -T- = —= -~ H A \/G send 



or >/ ]ij cu 



nella quale la quantità A, che ha sempre la forma (a), non è più una costante, ma 

 una funzione (incognita) di u. 



Dobbiamo ancora aggiungere che, se 



ds* = Edtr -+- Gdv- 

 è il quadrato dell'elemento lineare di una superfìcie S e 



Ddur-h- 2D'dudv -+- D"dv 2 



è la sua seconda forma fondamentale, indicando con .r i le coordinate di un punto M 

 mobile in S e con £'. . rf tì t\ (i — 0, 1, 2, 3) i coseni direttori in quel punto risp." della 

 tangente alla linea u ==. cost. 3 , della tangente alla linea v = cost.'' e della normale alla 

 superfìcie, nell'ipotesi che lo spazio sia a curvatura positiva costante A'=-+- 1, sus- 

 sistono tra queste quantità le seguenti forinole fondamentali : (*) 



(*) Bianchi: Sulla deformazione dei paraboloidi di rotazioni' negli spazi di curvatura costante 

 (Annali di Matematica, Serie III, 'l'omo IV, 1900), § I, forinole (]). 



