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 poniamo nella (12) il suo valore {a), avremo 



_ ( ! yW-v _ , h- (c, Jt( , + v-^ - -•)' = ° 



\t / V seiro - \ V seira" z / 



e poi clie 



\ V seno 1 tv \r V seno 1 / \r/ V seno - t \ V sen-cr / 



sostituendo nella precedente, otterremo l'equazione differenziale più semplice 



(13) (cotaV-H- (V-^s — 1 V= 0, 



t \ V seiro- / 



che lega cr a t e che è quella cui sopra accennavo. 



L'integrazione di quest'equazione non presenta alcuna difficoltà; giacche, se poniamo 



(14) t*= f(u) seno - . 



denotando /" una l'unzione arbitraria di it, e se eseguiamo le derivazioni indicate, la (13) 

 si semplifica nella 



G f 



seno- 

 che, integrata, ci dà per a il valore 



1//V-1 



— o 



(15) tang^ = /U/-+- l //' 2 — 1) 



ove con A' abbiamo indicata la costante d'integrazione. 



Presa dunque una funzione qualunque di w, diciamo f(u), e determinati i valori 

 di t e di a per mezzo delle (14) e (15), vediamo che le (6), (6') formano un sistema 

 completamente integrabile, per qualunque valore di k, e perciò dovranno ammettere una 

 soluzione contenente, oltre k, una seconda costante arbitraria (quella d' integrazione). 

 Le (3) rappresentano allora, per ogni valore di quest'ultima, una nuova superficie S' 

 della classe stessa della S, cioè con un sistema di asintotiche a torsione costante, ed 

 è chiaro che di tali superficie S' se ne otterranno un numero co 1 , corrispondentemente 

 ai diversi valori di /{, ed anzi una doppia infinità se si fa variare anche l'altra costante. 



Eliminando la /' tra le (14) e (15), si ha subito la relazione che lega a a % ; ma 

 volendo esprimere la t solamente per la /', si dovrà eliminare la a tra le equazioni 

 medesime. Per questo, avendosi per la (15) 



(7 



2( ' g 2 2M/--4- V/^l) 



sena = — 



a--i+ k * { f+yf-.iy> 



