— 166 -- 



Soddisfacendo la ih all' equazione differenziale (2), che è del primo ordine, il suo 

 integrale conterrà una costante arbitraria e quindi per ogni valore di k si avranno 

 infinite curve del Bertrand, di cui la superfìcie considerata è evidentemente il luogo. 



I na superficie di questa specie (generalizzazione delle superficie canali) la indiche- 

 remo per semplicità con 2, e in particolare con 2^, quando la linea dei centri (asse) 

 sia una curva del Bertrand, ed a cos k ne sia il raggio (raggio del cerchio gene- 

 ratore). E poi manifesto che, variando h tra o e co, la doppia infinità delle trasfor- 

 mate (3) della curva primitiva verranno a distribuirsi su altrettante superfici 2#, 

 aventi tutte per asse la stessa C. 



Premesso ciò, prendiamo ora a considerare sopra una 2^ una qualunque delle 

 corrispondenti trasformate C. di C ; avremo pei coseni direttori della sua tangente i 

 valori che riporto dalla mia Nota surricordata : 



cos a -f- sen h — cos k cos d> (cos k cos a cos ih -+- sen k sen a) 



cos a .= - — *— — — ; cos a -+- 



1 -f- sen k cos a — cos k sen a cos ìp 



cos k sen ih (cos h cos ih — sen k) Y , « 



-\ —>— — - cos e, -t- cos k cos ili cos A . . . ; 



1 -+- sen k cos a — cos k sen a cos ty 



mentre per quelli della tangente a uno qualsiasi dei cerchi u della superficie stessa 

 seguiranno dalle (3) gli altri 



d oc 



(4) — -J- — cos o cos ih cos a — sen ih cos £ -+- sen a cos ih cos À, ... 

 a cos /i ^/// T r T 



per modo che troveremo pel coseno dell' angolo che la G. forma con questi cerchi 

 T espressione 



1 dx. cos k sen cr -+- (cos" a — cos s k -+- sen à cos 0") cos ih 



(5) cos ^ — - — Zi — f cos a. = - : -, -. 



a cos h dip 1 1 -4- sen /? cos a — cos k sen a cos i^ 



Questo valore, in generale variabile da cerchio a cerchio, non potrà essere costante 

 salvo che esso non sia indipendente da ip, ciò che esige che coesistano le due egua- 

 glianze 



cos h sen a = (1 -+- sen k cos a) cos A, 



cos 2 a — cos 2 k -+- sen k cos a = — cos k sen a cos A, 



ovvero l'altra che immediatamente se ne deduce, eliminando tra esse costì, 



cos 2 k sen 2 a -+- (cos 2 a — cos 2 k -+- sen k cos 0") ( 1 -f- sen k cos a) = 



e che, dopo facili riduzioni, si semplifica nella 



(6) sen A cos a (sen ft -t- cos ar) 2 = 0. 



Non potendo per la (2) essere sen k -+- cos a = 0, quest' equazione non potrà essere 

 soddisfatta che da sen /{ = ovvero da cos o = 0. 



