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 Nel primo caso, siccome si ha allora per la (5) cos A = sen a, vediamo che le tra- 



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sformate corrispondenti della C sono traiettorie isogonali sotto l'angolo- —a dei cerchi 



(di raggio a) delle superficie che con le nostre notazioni è definita da H . 



NelT altro caso di cos a = 0, per cui la (6) è verificata qualunque sia k, siccome 

 segue dalla (1) che la C e quindi tutte le sue trasformate sono curve della medesima 



flessione costante -, considerando quelle corrispondenti a uno stesso valore di h, ed 

 a 



osservando inoltre che si ha per la (5) cos A = cos h, abbiamo il risultato, già da 



me ottenuto per altra via (*) : 



1 



Se C e una curva a flessione costante —, considerando la superficie canale di asse 



a 



C e di raggio b (< a), le traiettorie isogonali dei cerchi di curvatura, sotto V angolo 



costante k determinato dalla relazione a cos k = b, sono curve della stessa flessione 



costante ed uguale a quella della C. 



Ritornando al caso generale, proponiamoci ora di vedere se e in quali casi le 

 trasformate (3) di una curva del Bertrand, relative a un dato valore di k, [tossono 

 essere geodetiche della corrispondente superficie 2# su cui sono tracciate. 



Considerando una di tali curve, dovremo perciò esprimere la condizione che la 

 normale principale della curva sia in ogni suo punto normale alla 2/ 4 , ciò che esige 

 che sia soddisfatta 1' eguaglianza 



1 ^ dx. .. 



(7 2 -i cos §, = 0, 



a cos k dip ' 



avendo indicato con £ q £ gli angoli che la normale principale suddetta forma 

 cogli assi. 



Pei coseni di questi angoli si hanno i valori : 



„ cos k sen ih (cos k cos o cos ih -+- sen k sen o) 



cos § = ì — f — - cos a -+- 



1 1 -+- sen k cos a — cos k sen a cos ip 



cos k cos ih (cos k cos ih — sen a) -+- sen h (sen h -+- cos a) 



H z — — : — cos t — cos k sen w cos A, . . . 



1 -+- sen h cos a — cos h sen a cos ip T 



quali trovatisi determinati nella mia Nota precitata ; di guisa che sostituendoli nella (7) 



insieme a quelli di 



1 dee. 



a cos k dip' 



(*) Sulle superfìci nelle quali i circoli osculatori delle linee di curvatura di un sistema 

 tagliano un piano fisso sotto un angolo costante. Memorie di questa R. Accademia, Serie VII, Tomo I, 

 1913-14. 



