— 168 — 

 dati dalle (4), otterremo, fatte le debite riduzioni, ]' equazione semplicissima 



sen k (sen k -+- cos a) sen rp = 



che non può essere soddisfatta che da sen h — 0. 



Siamo così ricondotti al caso precedente e possiamo perciò concludere col Demartì e : 

 Se per ogni punto di una curva del Bertrand di equazione intrinseca 



cos a sen (j 1 

 T p a 



si descrive un cerchio di raggio a il cui piano passi per la normale principale della 

 curva e sia inclinato sul piano osculatore dell'angolo <y, le traiettorie sotto l'angolo 



TI 



(7 di questi cerchi sono linee geodetiche e insieme curve del Bertrand agli stessi 



parametri della primitiva. 



Ma qui possiamo completare questo risultato dimostrando inversamente che : 



Se una superficie 2 possiede un sistema di geodetiche, die nello stesso tempo siano 



Tt 



traiettorie isogonali sotto V angolo a dei cerchi della superfìcie, le linee stesse non 



che l'asse (linea dei centri di questi cerchi) sono curve del Bertrand della stessa 

 famiglia. 



A tale oggetto, mantenendo invariate le precedenti notazioni, potremo rappresentare 



la nostra superfìcie mediante le equazioni : 



x x =. ce -4- a (cos 0" sen ip cos a -+- cos ip cos £ -+- sen a sen ip cos À), . . . 



da cui derivando e tenute presenti le forinole del Frenct, seguiranno le altre 



ò.r. / a cos ip\ /coso - senoA ¥ «costi; r 



-— - =11 cos a H- a sen w - -\ — — cos t — - ■ cos e, . . . 



<>u \ pi \ P 1 I t 



—^ = a l cos a cos ip cos a — sen ip cos £ -+- sen a cos ip cos X l, . . . 

 e perciò 1' elemento lineare della superficie assumerà la forma 



(8) 





ds 2 = 



Edu~ -+- 2 Fdudv -+- Gdv 2 



ove, 



per le precedenti, 









/ E= (l - 



a cos ip\ 

 P ) 



2 . /coso - seno" 





\ p T 





(9) { 



i F = a cos a cos ip 



., /coso" senoA 





a \ p ' zi 





G = a . 







ce cos- e^ 



