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Essendo per ipotesi a V angolo che le traiettorie considerate formano coi 



cerchi u della superficie in questione, esse saranno rappresentate dall' equazione 



( Fdu -\-Gdip\ cos a = \/EG — F 2 seti o du, 



che, resa razionale, equivale all' altra 



(10) G 2 cos 2 odip 2 -+- 2FG cos 2 ad ^du -+- {F 2 — EG sen 2 a) du 2 —. 0. 



D'altra parte, scrivendo l'equazione generale delle geodetiche di una superficie di 

 elemento lineare (8) nella forma data da Gauss 



j o „ \ F 1 Ì)G , , IF , 1 Ì)E 



\ EG — F*d0 = -- dG-\ de — — de — du = 0, 



V 2 G 2 du * dip Y 2Ùip 



nella quale, rappresentando 6 V angolo d' inclinazione di esse geodetiche sulle linee u } 



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ha nel nostro caso il valore costante a, nel tempo stesso che G ha il valore 



costante a 2 , otterremo l' equazione 



DF , ì Ì>E , 



— 7 òlb -+- - — du = 

 òip r 2 Zip 



che dovrà naturalmente coesistere con la (10). 

 Ora, poiché dalle (9) si deduce derivando 



Ì)E I a cos ih\ a sen é „ . , /cosa senoA 2 2 a 2 cos ih sen ih 



r- F ■= 2 ( 1 i-)- — *- -+- 2a- sen t// cos t// - - -4- - — I— -2-, 



l)ip \ p ì p r Y \ p t / r 



— -, — — « cos 0" sen ti/, 

 Di// r 



sostituendo nella precedente, avremo 



, 1/ a cos ih \ a cos ih „ (coso senav a 2 cos t// sen i// ì 



s o- sen ih diìi -+- 1 — — *- )— — £- -+- <r sen ili cos w [ — i — — ^ > du = 0, 



rr |\ p / p YY \/9 t: / T 2 | 



od anche, eseguendo calcoli e riduzioni elementari, 



,,', s , « • W « / cos °" sen 0"\ 2 ) , 



(11) — cos a dw -\- ' a cos w > du = 0, 



d(l/ 

 tra cui e la (10) eliminando il rapporto—- otterremo un'eguaglianza, che dovrà es- 



du 



sere soddisfatta qualunque sia ip. 



Per eseguire più semplicemente questa eliminazione, poniamo 



cos a sen a cos a sen a 



(12) M= , N= 1 



T p p T 



