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che è lo spostamento di M nel moto considerato. Ricordando note cose di cinematica, 

 questa fa vedere che ox ■ ds definisce la rotazione infinitesima occorrente per rendere la 

 terna (i, j, k) relativa a P parallela a quella corrispondente a P -+- xds, essendo, del 

 resto, x una direzione qualunque. Perciò la a può chiamarsi V omografia delle rotazioni. 

 Considerando un dato punto P e una direzione qualunque definita dal vettore uni- 

 tario a, poniamo a = P — Q e 



2<p{Q) — a(Q — P) X (Q — P) = Da{Q—P) X {Q — P)- 



Allora, prendendo il gradiente (rispetto a Q) d' ambo i membri, si ottiene, per note 

 formule (ricordando che Da non dipende da Q), 



ossia 



D' altra parte 

 per conseguenza 



2 grad (p = Da{Q—P) -4- Da{Q — P) 



grad (p = Dadi. 



o-a =3= DaB. -+- Va /\ a ; 



aa. = grad|(^ -+- Va /\ a. 



Da questa e dalla considerazione dell'ellissoide 2(p = Dan Xì= ' risulta che la 

 rotazione adi • ds (occorrente per rendere il triedro (i ] k) relativo a P parallelo a 

 quello corrispondente a P -\- &ds) é la risultante di due rotazioni i cui vettori rap- 

 presentativi sono : uno parallelo alla normale ed detto ellissoide nel punto C, ove è 

 incontrato dalla retta per P parallela ad a, ed uguale al gradiente di (p in quella 

 direzione ; V altro uguale al momento rispetto a Q del vettore- applicato (P, Va). 



Inoltre, se poniamo ax = P — M e cerchiamo il luogo dei punti ili, troviamo 

 (posto che a non sia degenere) 



x = a- x {P — M) 

 e quindi 



ff -i (p _ M) X(T~ Ì {P—M)=\ ; 



la quale esprime che il luogo degli estremi dei vettori ax fibrati per Pj rappresen- 

 tante le rotazioni è un' ellissoide. 



3. — Dalle (2) tenendo presente il significato cinematico di a, si deducono come 

 casi particolari le formule di Frenet relative alle curve e le formule fondamentali 

 della geometria differenziale delle superficie che fanno riscontro a quelle di Frenet. 

 Non credo superfluo accennare a tale deduzione. Supponiamo che il punto P considerato- 

 precedentemente percorra una linea (s), e che i = t, j = ti, k = b definiscano rispettiva- 

 ménte la tangente, la normale principale e la binormale alla curva in P. Allora, 



, . dP 



essendo i = t = — , si trae dalle (2) 

 ds 



d *- * rft * A * dn * a d b * A u 



ip t = ^ = ' ,l ^ t ' & =<,,An ' * = fftAb - 



Serie VII. Tomo VI. 1918-1919. 26" 



