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Il vettore crt definisce, per quanto fu detto, la rotazione infinitesima occorrente per 

 rendere la terna principale relativa a P parallela a quella relativa a P-\-dP (dP = \ds). 

 Orbene, introducendo le nozioni di curvatura e torsione, subito si vede cbe al • ds è il 

 risultante di due vettori che definiscono le rotazioni necessarie per far coincidere i 

 due piani osculatori (in P e P -+■ dP) prima, e le normali principali poi, con che le 

 due terne (immaginate tirate entrambe da P) si sovrappongono. Dunque 



ai = 1 -h — b, 



t p 



ove — e — sono rispettivamente la curvatura e la torsione (positiva o negativa se- 



P t 

 condo che in P la curva è destrorsa o sinistrorsa). Si hanno così le formule di Frenet. 



Parimenti, consideriamo una superficie S luogo dei punti P. Siano, in ogni punto, 

 i e j i vettori unitari che definiscono le tangenti alle linee di curvatura nel senso 

 dei loro parametri u e v ; k quello che definisce la normale, in tal senso che la terna 

 (i j k) sia destrorsa. 



Per le (2) avremo 



dì . . . , di . . - 



d'\ . . . dì . . 



dk . , . . db . 



Tp' = a ' Ak dpl = a l* k > 



ove cri e crj definiscono, per quanto fu detto, le rotazioni occorrenti per rendere la 

 terna (i j k) relativa a P parallela a quelle relative al punto P -+- dP situato rispet- 

 tivamente sulle linee di curvatura v = cost e u = cost. 



Siano P e P -+- dP due punti della linea v = cost . Ricordiamo che le normali 

 alla superficie in questi due punti s' incontrano, e che la distanza di questo punto 

 d' incontro da P è uno dei raggi di curvatura della S in P. Lo indicheremo con p v . 

 Rammentiamo inoltre che i piani tangenti nei detti punti P e P -4- dP si tagliano 

 lungo la tangente all' altra linea di curvatura, definita da j : e che, facendo girare 

 intorno a questa tangente l' un piano, onde vada a coincidere con 1' altro, le tangenti 



n l 



in P e P -+- dP alla linea v = cost faranno tra loro un angolo du = — ds, ove R 



R 



è il raggio di curvatura dell' archetto ds della linea in considerazione, divenuto ora 



sul piano tangente in P. Questo R coincide con quello che si chiama il raggio della 



curvatura geodetica della curva v = cost in P. Lo indicheremo con p y . 



Ora è facile vedere che la rotazione definita da aids è la risultante di due : una 



che fa combaciare i due piani tangenti menzionati, 1' altra che rende parallele le 



